Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
Метод стационарной фазы Кельвина и интеграл Эри
Кельвин [319] предложил изучить задачу более простыми методами, чем те, которые были предложены Коши и Пуассоном.
Рассмотрим интеграл
ь
J <f(x)e*fWdx
а
и предположим, что /(Jt) меняется гораздо быстрее, чем в случае периодического изменения. Метод Кельвина использует тот факт, что в процессе взаимодействия различные элементы интеграла большей частью взаимно уничтожают друг друга, за исключением окрестности такой точки х (если она существует), для которой функция /(х) стационарна. Детали метода стационарной фазы изложены Джеффрисом и Джеффрисом [291] и Стокером [15].
Рассмотрим одномерную задачу распространения возмущения, вызванного начальным возвышением поверхности. Следуя работе [291], представим это возмущение в виде
OO
/ (jc) = J / (К) cos (Kx - о)0 dK. (1.82)
о
27
Тогда в точке X0 в момент возмущение асимптотически можно представить с помощью метода стационарной фазы Кельвина в виде
/ (хо, ^о) ^ т~і ^ Jc
s
dK
— cos (К,х -Ы + (1.83)
Здесь индекс 0 означает, что функция вычисляется для волнового числа /Со, Cg — групповая скорость, а знак в аргументе косинуса зависит от того, является ли величина dCg/dK положительной или отрицательной.
Однако уравнение (1.83) теряет силу: а) когда групповая скорость постоянна, т. е. не зависит от значений К, или б) для головной части волнового цуга, где выполняется формула для
длинной волны (C = ^gD). Для этих ситуаций метод стационарной фазы следует применить в более высоком приближении. Тогда возмущение можно выразить не в форме уравнения (1.82), а в форме интеграла Эри
OO
A1 (а) =,±\ cos (-^-+ at) dt, (1.84)
где а — некоторая переменная. Если записать приближенно
th (KD) ж KD---L (KDf1 (1.85)
то групповая скорость волн цунами, достигающих некоторой точки, будет
Cg = VTD(l -±K*D*). (1.86)
Пусть начальная форма свободной поверхности такова, что г] = 1 в области —L<x<L и ц = О за ее пределами. Если а —
фазовая скорость длинных волн У gD, то асимптотическая форма т] вблизи X=at есть
Функции Эри монотонно возрастают до некоторого максимума, а затем осциллируют с убывающей амплитудой. Величину At (а) можно выразить через функции Бесселя от мнимого аргумента для положительных значений а и действительного аргумента— для отрицательных значений а. По поведению величины Ai (а) можно заключить, что в любой данной точке после прохождения головной волны цуга последующие волны должны
28
иметь форму диспергирующего волнового цуга. Поведение величины г] после нескольких первых колебаний описывается следующим асимптотическим выражением:
j ( 2 У/і_1_/ atD2 у/ it
rl — L{*tD2) я'Л(а/i 2 J Х
Теория Кранцера и Келлера при условии радиальной симметрии
Кранцер и Келлер [336] развили теорию волн на воде от надводного либо подводного взрыва в предположении конечной глубины. Они дали точные формулы для высот волн, возникающих от произвольного осесимметричного начального возмущения, которое может иметь характер импульса, деформации поверхности или комбинации того и другого. Если форма начального возмущения известна лишь приближенно, то дается верхняя граница высот волн. Соответствующий анализ опирается на линейную теорию поверхностных волн в жидкости постоянной и конечной глубины D. Предполагается осевая симметрия начального возмущения, так что удобно воспользоваться полярными координатами. Возвышение поверхности т|, вызванное начальным распределением на поверхности импульсивной (мгновенной) силы, есть [336]
т](г, 0—^^7" Asin2TC("T—Ir) для г>>/?> 0.89)
где г — расстояние от начала координат, t — время, I0 — начальный импульс в точке г = 0, R — эффективный радиус начального импульса, определяемый равенством (1.90), А — амплитуда, T — период, X— длина волны,
OO
jV|/(r)|A-
?2 = О -^ ^ щ
Полный начальный импульс равен я\I0\R2.
Из уравнения (1.89) видно, что высота ц затухает пропорционально расстоянию г. Данный элемент профиля волны движется с постоянной скоростью, но разные элементы движутся с разными скоростями, внешние быстрее, чем внутренние. Параметры Л, Г, X выражаются через новую переменную
29
которая является функцией от r/(C]/gD) и определяется как единственный неотрицательный корень уравнения
Уравнение (1.91) по существу определяет амплитуду X через переменную а. Для периода T имеем
2г.
V7
D
th a
Рис. 1.2. Амплитуда волны функция r/t VgD [335].
(1.93)
Амплитуда Л = 0 при r>tygD, а при r<tygD дается преобразованием Ханкеля I (o/D) нулевого порядка от распределения начального импульса I (г):
OO
О
(1.94)
Для данного значения г/(t ^gD) можно найти величину о из трансцендентного уравнения (1.92) и, зная значение а, вычислить параметры X, T и Л. Однако вследствие трудностей, связанных с решением трансцендентного уравнения (1.92), удобнее задаваться значениями а и вычислять параметр г/(t l/gD).
На рис. 1.2 изображена амплитуда волн, порожденных параболическим начальным распределением импульса: / (г) =
= 10 { 1- \ (-^-)2} при г< УЗД и /(г) = 0 при r>iW,
2
