Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Геотектоника -> Мурти Т.С. -> "Сейсмические морские волны. Цунами" -> 4

Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.

Мурти Т.С. Сейсмические морские волны. Цунами — Л.: ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ, 1981. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): sesmichmorskvolni1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 159 >> Следующая

Следуя Броеру [92], получим параметр Урселла формальным путем и обсудим проблему взаимодействия нелинейности (или амплитудной дисперсии) и дисперсии (т. е. фазовой дисперсии) при распространении волн. Уравнение Буссинеска (1.6) приблизительно описывает распространение плоских волн конечной амплитуды в слое жидкости постоянной глубины, когда отношение глубины к длине волны хотя и мало, но не пренебрежимо, как в теории приливов. Классическая форма этого уравнения такова:
-dt2--SD-o^ = TS^r(h-D) t+Y-gD з-^, (1.6)
14
где t — время, а X — горизонтальная координата в направлении распространения волны. В этом уравнении первый член его правой части характеризует нелинейность, обусловленную конечностью амплитуды волны, а второй — дисперсию, обусловленную конечностью отношения глубины к длине волны; h (ху t) — локальное возвышение волновой поверхности над горизонтальным дном.
Предполагая течение безвихревым, можно ввести потенциал скорости Ф с помощью соотношений:
дФ дФ ~
Он удовлетворяет уравнению Лапласа
02Ф 02ф
дх2 і дг2
= 0. (1.8)
Граничное условие на дне выражает отсутствие вертикального потока, т. е.
-^r = O при z = 0. (1.9)
На свободной поверхности выполняются кинематическое [5] dh . дФ dh дФ и, ,V ,л 1ПЧ
st+stst=st при г<) о-10)
и динамическое условия.
Если Ф аналитическая функция х и z (т. е. она не имеет особенностей), то уравнения (1.8) и (1.9) удовлетворяются при подстановке
«.<*. г, о-м*, 0-4-3-+-5--Sf-- • ¦ •• с-'2)
где ф (х, t) — потенциал скорости на дне. Из уравнений (1.10) и (1.11), используя уравнение (1.12), можно составить уравнения для ф (х, t) и ц (ху /). Они содержат бесконечные степени rj и бесконечный порядок производных д/дх. Теперь, чтобы получить уравнение, подобное уравнению (1.6), придется опустить члены высоких порядков.
Прежде, однако, целесообразно перейти к безразмерным переменным. Выберем следующие безразмерные переменные, обозначенные знаком штрих:
x~Lx\ Z = Dz', /-у=-, V = ^eLYjD. (1.13)
15
Запишем
A = D(I+eV), (1.14)
где є — относительная амплитуда волны [см. уравнение (1.1)], а величина ц' (х\ Ґ) выбирается так, чтобы ее максимальное значение не превосходило единицы ни при каких начальных и граничных условиях. Это означает, что безразмерный наклон дц'/дх' имеет порядок единицы при соответствующем выборе L.
Выбрав в качестве L преобладающую длину волны X и имея в виду определение [і из уравнения (1.1), из выражений (1.10), (1.11) и (1.12), сохраняя члены только нулевого и первого порядка, можно получить следующие уравнения (здесь и далее знак штрих опущен):
dt ^ OX2 — ?И дх* OX OX 6 OXi ^Л0)
И
Решение выражений (1.15), (1.16) зависит от отношения є/|і, т. е. от параметра Урселла, который определен в уравнении (1.1).
Лайтхилл [361], по-видимому, первым предложил термины «частотная дисперсия» и «амплитудная дисперсия». Другие авторы использовали для обозначения первой термин «дисперсия», а второй — «нелинейные эффекты». При частотной дисперсии распространение волн различной частоты происходит с различной скоростью, тогда как амплитудная дисперсия относится к ситуации, при которой по сравнению с подошвами гребни волн распространяются с большими скоростями, что приводит к увеличению крутизны волн. Ниже будут рассмотрены случаи, когда частотная и амплитудная дисперсии стремятся уравновесить друг друга.
Рассмотрим сначала случай, когда можно пренебречь членами с множителем є в выражениях (1.15), (1.16). При этом уравнения становятся линейными и путем исключения величины т] можно получить уравнение
дх2 Ot2 — б P дх* 2 {Х dx2dt ' \ІЛ')
Выражая потенциал <р в виде
ср = ехр і (Kx — <!>*), (1.18)
где /= У—1, получаем следующее дисперсионное соотношение:
м2 1+4-F^2 і
6 -^i-4-ц/С*. (1.19)
К2 1+4"^2
16
Для этого приближения дисперсионное соотношение запишется в принятых единицах в следующем виде (ускорение свободного падения учтено при переходе к безразмерному времени) :
о)* =-^r-th {К Vp)- (1.20)
Если теперь в уравнениях (1.15) и (1.16) пренебречь членами, пропорциональными |я, то, определяя скорость на дне как
получим
4г+^И<"+"»«Н. ('¦22)
?+Ж + »>?-°- 0.23)
В этих уравнениях нет ограничения на относительную амплитуду волны е, поскольку, если продолжить разложения, приведшие к выражениям (1.15), (1.16), то члены с множителем є2 и высшими степенями появляются всегда с множителем |ы в качестве сомножителя и эти члены пропадают при пренебрежении величиной |1.
Если в выражениях (1.15) и (1.16) отбросить члены, содержащие как е, так и |і, то получаются линейные уравнения без дисперсии. Для волн, бегущих вправо, решением будет
Ti = U = T1(X-I). (1.24)
Следовательно,
Сокращенная форма уравнения Буссинеска
В безразмерных переменных уравнение Буссинеска (1.6) запишется так:
Jh___^-i-e^f^a+ 1 A ( 6.
ЧГ2---2 ?^2-^ + TxT' y['Zb)
Левую часть этого выражения можно вывести из уравнения (1.15), (1.16), и тогда получим
Ясно, что уравнение (1.27) не аналогично уравнению (1.26), но может быть сведено к нему при условии, что выражения (1.24), (1.25) имеют силу. Действительно, используя приближенный
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed