Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
2 Заказ № 5 17
характер уравнений (1.15), (1.16) вместо уравнений (1.24), (1.25), можно принять соотношения Т| — и = 0(е) и
^ + 4- = 0(3, р). (1.28)
Любопытно, что решения уравнений (1.15) и (1.16), где главную часть составляют волны, бегущие вправо, если предполагается их существование по крайней мере на некотором отрезке времени, могут быть найдены из более простого уравнения (1.26) в настоящем приближении. Для волн, бегущих влево, знаки в уравнении (1.28) можно изменить, и таким образом уравнение (1.26) также может быть получено из уравнения (1.27). Отсюда, при условии справедливости выражения (1.28) уравнение Бус-синеска эквивалентно уравнениям (1.15), (1.16) только для волн одного направления, но не для более общих решений.
Так как принцип суперпозиции нельзя применить к нелинейным уравнениям, с которыми мы имеем дело, следовало бы по крайней мере упростить уравнение (1.26), пренебрегая волнами, бегущими влево. Оставляя в силе уравнение (1.28) и принимая также, что повсюду имеет силу уравнение (1.21), из выражений (1.15), (1.16) получаем:
дг\ , да д , ч , 1 д^а ,л ЛГкЧ
д(\ . да д ( а2 \ 1 дЫ (л ОАЧ
Из уравнения (1.28) можно записать
¦5-+¦S-S-S-0- <|31>
Сложив уравнения (1.29) и (1.30), вычтя уравнение (1.31) и используя выражение (1.28) для правой части уравнения (1.31), получим
-5-+¦?+4'?-«)+т о- <132>
Это — сокращенное уравнение, полученное из уравнения Бус-сииеска, с помощью которого можно понять взаимодействие между амплитудной и частотной дисперсиями.
Кноидальные волны
Уединенная волна. Чтобы исследовать свойства упрощенного уравнения, следуя Броеру [92], отбросим числовые множители в уравнении (1.32) и получим
18
Для этого уравнения задача с начальными условиями формулируется заданием функции
T1(X, O) = F(X). (1.34)
Как амплитудная, так и частотная дисперсия стремятся исказить форму волны. Однако может возникнуть ситуация, при которой оба эффекта гасят друг друга. В этом случае решение сводится к следующему:
V = F(X-af)% (1.35)
где а — скорость распространения волн. Из уравнений (1.33) и (1.35) после подстановки t = 0 и интегрирования по х имеем
(l-a)F +-J-eF* +JX-^ = O. (1.36)
Умножение выражения (1.36) на dF/dx и повторное интегрирование приводит к выражению
-l(1 _ a) F> + -J- е/^з + -1- р Щ =ь, (1.37)
где Ь — постоянная интегрирования.
Уравнение (1.37) интегрируется в эллиптических функциях. Так как эти функции обозначаются через сп, то и решения уравнения (1.37) называются кноидальными (cnoidal) волнами. Для 6=0 простое решение есть
^wfer- (138>
где
3(д— 1) 1 і/ а —
Это решение представляет так называемую уединенную волну. Параметр Урселла становится равным ej (-у-^) и не зависит от а и р.
Скорость уединенной волны получаем из уравнения (1.36):
n_,+J-,4 + Ji-.-&. 0-39)
Если пренебречь третьим членом правой части этого уравнения и принять во внимание, что выражение (1.39) записано в безразмерной фор.ме, то выражение (1.39) сводится к уравнению (1.5).
Прежде чем перейти к рассмотрению некоторых деталей кноидальных, уединенных волн и волн Стокса конечной амплитуды (они будут введены позже), покажем, какое отношение
і* 19
к цунами имеют различные приближения теории, обсуждавшиеся до сих пор. На глубокой воде, особенно вблизи зоны возбуждения цунами, вероятно, справедлива линейная теория (с учетом только фазовой дисперсии). На континентальном шельфе важны и частотная, и амплитудная дисперсия, так что здесь подходят решения в виде кноидальных и уединенных волн. В очень мелких прибрежных районах (бухты, гавани, заливы) преобладает амплитудная дисперсия.
Как амплитудная, так и фазовая дисперсия приводит к постепенному искажению волн. Природа искажений, вызываемых тем и другим видом дисперсии, не обязательно должна быть одинаковой. С целью изучения этого вопроса можно использовать сокращенную форму уравнения Буссинеска (1.33). Рассмотрим систему координат, движущуюся с единичной (безразмерной) скоростью. Определим
S = x-1. (1.40)
Тогда выражение (1.33) примет вид
Эффект амплитудной и частотной дисперсии качественно можно оценить, интегрируя выражение (1.41) по величине S. Однако эти решения ограничены случаями периодической либо уединенной волны, когда величина ц и ее производные стремятся к нулю при большом В обоих случаях интегральные члены можно отбросить при интегрировании по частям.
Интегрирование выражения (1.41) дает
4rl-ndS = 0. (1.42)
При интегрировании умножение выражения (1.41) на величины г), т]2, г)п дает следующие соотношения:
і ^dS = O, (1.43)
d dt
dt J
j^dS = -,\(^JaS, (1.44)
а общее соотношение имеет вид -A.J ^+4S = - 4- п-(п + \)(п - I)JX J (-g-)3 -rf-'dS, (1.45)
Дифференцирование выражения (1.41) по S1 умножение на dr\/dS и интегрирование дает
20
Интегралы в правых частях уравнений (1.44) — (1.46) можно рассматривать как выражающие асимметрию волн. Для волн с крутым фронтом эти интегралы будут отрицательными. Таким образом, эти уравнения показывают, что частотная дисперсия стремится повысить гребни и сгладить ложбины. Уравнение (1.46) показывает, что амплитудная дисперсия увеличивает средний квадрат наклонов поверхности волны.
