Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теория волн малой амплитуды
Классическая линейная теория волн малой амплитуды была впервые развита Эри [40]. Главное ее допущение состоит в том, что амплитуда волны мала по сравнению с глубиной. Другое
допущение записывается в виде -j- <С (~х~)2- РассмотРим УРав~ нения движения в вертикальной плоскости xZ:
du . du , да I dp ґл
dw . dw , dw 1 dp Z1 .Q4
+ + w ^ = ~g(1.48)
dt ~ dx r dZ 6 p dZ
уравнение неразрывности
du . dw
dx 1 dZ
(1.49)
и условие отсутствия завихренности
du dw
12 dx~
= 0. (1.50)
Уравнение Бернулли для этих условий при однородной плотности жидкости есть
Поскольку амплитуда волны считается малой, скоростным напором — (и2 + а>2) можно пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением, а конвективные ускорения в уравнениях
/і л*г\ /і ( du du dw dw \
(1.47) и (1.48) [и -g^-, w-jz~, u -gj- ) можно опустить.
На свободной поверхности при Z = O граничные условия имеют вид
w = iir> р = р«> (ь52)
21
а на дне при Z — —D
w = 0. (1.53)
Здесь ра — атмосферное давление. Начало координат расположено на уровне невозмущенной свободной поверхности.
Для простой гармонической прогрессивной волны решение имеет вид
ri(x, t) = a cos (Kx-at), (1.54)
где а — амплитуда волны, К— волновое число, со — частота. Тогда выражения для и, w и р соответственно будут следующие:
а = а« Chli((KD)D)] cos(/T*-ttQ, .(1.55)
P = Pa - PgZ + pga Ch [сь(кІ)°)] cos &x ~ <°0- 0 -57)
Здесь
u* = gKth(KD). (1.58)
Поскольку фазовая скорость С = (о/К, можно записать
C* = -^-th(KD). (1.59)
Как для больших, так и для малых значений KD выражение (1.59) принимает более простой вид. Для глубокой воды (короткие волны) имеем ?>Д>—, и тогда th (KD) порядка единицы, так что из выражения (1.59) получаем
Выражения для скоростей частиц и давления в этом случае таковы (см. уравнения (1.55), (1.57)):
и = au>eKZ cos (Kx — W)1 (1.61)
w = meKZ sin (Kx — о)/), (1.62)
р - Рш = 9gZ + pgaeKZ cos (Kx -- (*>/<). (1.63)
Орбиты частиц — круговые с радиусом а и частотой со. Радиус убывает с глубиной. Волновое возмущение давления (второй член правой части уравнения (1.63)) также убывает с глубиной (начиная с некоторого уровня им можно пренебречь), и давление становится гидростатическим. Из выражения (1.60)
22
видно, что фазовая скорость волн на глубокой воде зависит от длины волны, т. е. имеет место частотная дисперсия.
Для длинных волн на мелкой воде имеем D/k<-~^* поэтому th (KD) становится примерно равным KD, так что фазовая скорость согласно уравнению (1.59) равна
C = YJd (1.64)
и не зависит от длины или периода волны. Поэтому длинные волны недисперсионны. Выражения (1.55) — (1.57) дают:
и = -^- cos (Kx - соО, (1.65)
w = К (Z + D) sin(Kx - со/), (1.66)
р — Pa = ?gZ + Pga cos (Kx — со/). (1-67)
Так как величина Z не содержится в уравнении (1.65), значение и одинаково на всех глубинах. Однако величина w зависит от значения Z. Из-за этого орбиты частиц представляют не окружности, а эллипсы с горизонтальной большой осью. Длина большой оси эллипса — 2а/(KD) —одинакова на всех глубинах. Длина малой оси уменьшается с глубиной, как 2a(Z + D)/D. Вблизи дна эллипсы вырождаются в отрезки прямой.
Уравнение (1.67) показывает, что переменная часть давления также не зависит от глубины. Справедливость приближения мелкой воды обеспечивается соблюдением двух условий: a/D<Cl и параметр Урселла U<Cl. Так как для длинных волн
D/X<——, то а/D должно быть меньше 1/(20)2л
Волны конечной амплитуды
Теория волн малой амплитуды пригодна в тех случаях, когда возвышением поверхности можно пренебречь, т. е. движение происходит в пределах известных границ (верхней и нижней). Предположение о линейности позволяет определить сложное волновое движение посредством суперпозиции элементарных волновых движений.
Стоке [599] показал, что периодические волновые цуги (wave trains) возможны в нелинейных дисперсионных системах. В случае волн конечной амплитуды конвективные члены нельзя отбросить и следует рассматривать уравнения (1.47) — (1.50). На свободной поверхности
P(Xf 7], O = Pa = COnSt (1.68)
23
и нелинейное граничное условие имеет вид
др
dt
= 0.
(1.69)
Из-за нелинейных членов уравнения трудно получить решение в замкнутой форме. Методом последовательных приближений Стоке получил решения, названные впоследствии его именем. Вигель [694] подошел к этой задаче несколько иначе. Уравнения (1.47) — (1.48) записываются совместно в форме интегрального уравнения Бернулли для нестационарного течения:
Условие отсутствия вихрей запишется так:
Решения для потенциала скоростей, амплитуды волны % скоростей частиц и и w и поля давления р даны Муга и Вилсоном [441]. Другие полезные результаты имеются у Уизема [687] и Кннсмана [324]. Эти результаты можно рассматривать как некоторые решения первого порядка, дающие волны малой амплитуды, плюс поправочные члены второго порядка. Решения упрощаются в случае глубокой или мелкой воды. Получены и решения более высоких порядков. Например, Шелбрейя [579] дал решения третьего, а Шелбрейя и Ханриксон [580] пятого порядка.
