Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
R= —D [336]. Рисунок показывает, что амплитуда А равна
нулю при r>tlfgD и непрерывна для r = t~\fgD, хотя ее первая производная терпит разрывы. Важной особенностью амплитудной кривой является положение и значения максимумов амплитуды \А \ в зависимости от распределения начального импульса. Верхняя граница величины |Л| для любого начального импульса определяется соотношением
I Л|< 1,40 при -§-<2. (1.95)
Кранцер и Келлер в табл. 1 работы [336] приводят значения максимальных амплитуд Лтах, групповой скорости Cg
30
длины волны Ящах, периода Гтах, максимальной и полной энергии для пяти различных начальных распределений I (г). Они также привели диаграммы высоты волны г) как функции времени t при данном расстоянии г и функции расстояния г при данном времени t.
Для начального подъема или понижения свободной поверхности высота волны дается формулой
Ч(Г, *)~40^ficos2ic(^--?-) при г »R1 (1.96)
где T]0 — начальное возмущение при г = 0. Эффективный радиус начального возмущения определяется выражением
]е (r)rdr
R2
(1.97)
hol
где E (г)— начальный подъем, а л/?2|г)0| — объем, занимаемый смещенной жидкостью. Амплитуда волны В подобно амплитуде А выражается через преобразования Ханкеля нулевого порядка от начального подъема E (г). Верхняя граница величины В для любого начального распределения определяется соотношением
R
|?|<1,16 при 1,64
(1.98)
Хотя в целом волновая картина в случае начального подъема или понижения подобна той, которую дает начальный импульс, имеются и важные различия. В данном случае нарушается непрерывность функции В — амплитуды волны — при
г = t у gD , а именно, волне предшествует бор. Безразмерная высота и длительность бора определяются выражениями
D _ , R' R'
^ бор а — JL
^бора —
2D 1,4D1V
g
где
J rE (г) dr
(1.99) (1.100)
(1.101)
Амплитуда волны может немного возрасти позади бора, но далее при / = оо постепенно падает до нулю. В действительности вследствие вязкости амплитуда волны непрерывна при г =
— tygD и не равна в точности нулю при r>f]fgD. На самом
31
деле бор представляет собой быстрое изменение амплитуды волны В от нуля до значения, указанного в выражении (1.98). Однако с течением времени он становится круче и стремится перейти в настоящий разрыв. Если объем жидкости над невозмущенной поверхностью воды в точности равен объему, из которого вода вытеснена под этой поверхностью, т. е. ?(0)==0, то бор не может возникнуть. Чтобы рассчитать истинные формы волн, возбуждаемых взрывами, нужно прежде всего в первом
8'Г
случае определить начальное распределение импульса, во втором — начальное смещение поверхности. Сравнительно легко вычислить распределение начального импульса для взрыва над поверхностью по ударной волне или измеренному импульсу давления, но начальное смещение поверхности воды (для второго случая) поддается лишь ориентировочной оценке. (Подробности о выполнении начальных условий см. в работе [336].) Эта теория не годится для малых расстояний от начала координат вследствие того, что она опирается на метод стационарной фазы.
Уэйлин [683] разработал метод вычисления волнового движения вблизи источника, который он представил в виде параболического импульса радиусом 2R. Его результаты показали, что
при /<г/УgD и г> 10/? начальное волновое движение в самом деле не играет роли. Таким образом, для таких расстояний можно использовать метод стационарной фазы, требующий меньше вычислений. Для г> 10/? целесообразно применять метод Уэйлина. Он предупреждает, однако, что для r<3R его линейная теория теряет силу. На рис. 1.3 показано волновое ко-
32
лебание уровня, вычисленное Уэйлином в 10 км от начала координат.
Теория Кадзиура
Кадзиура [304] критиковал Кранцера и Келлера [336] за некорректное применение метода стационарной фазы к волнам, для которых следовало рассмотреть интеграл Эри. Он рассмотрел задачу о поверхностных волнах, возбуждаемых произвольным, но локальным распределением возмущения водной поверхности, и дал решение, включавшее эффекты начального смещения, скорости, давления и движения дна.
Задача была сформулирована следующим образом. В водной массе конечной глубины Д простирающейся в бесконечность по горизонтали, начало декартовой системы координат X9 у, z помещено на невозмущенной поверхности воды, движение предполагается безвихревым. Вводятся безразмерные переменные:
D (gD) *
У*Нг. ^"ЙГ' 0.102)
9
D 9
здесь г) — отклонение уровня воды от равновесного положения, Ф — потенциал скорости, р — плотность, р— отклонение атмосферного давления на поверхности моря от его среднего значения.
Кадзиура принял линейное приближение, считая, что возвышение поверхности и деформация дна малы по сравнению с глубиной D и длиной волны Я. Оба эти условия обеспечиваются допущением, что параметр Урселла (1.1) не превосходит единицы. Потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, двум граничным условиям на свободной поверхности и одному на дне. Уровень воды обозначается теперь как г), граничное условие прилагается к уровню невозмущенной поверхности и для удобства знак звездочки опущен. Для этого случая кинематическое условие (1.10) на поверхности моря записывается в виде
