Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
2 Г.Б. Клейнер и др.
33
Таким образом, метод минимизации интегральных отклонений отнюдь не универсален, а точность оцененной этим способом зависимости не всегда характеризуется величиной отклонений.
2.4. Принцип максимальной гладкости в задаче интерполяции
Как отмечалось в п. 2Л .2, решение задачи интерполяции (в нашей терминологии - оценки) можно получить, используя принцип минимального расстояния. Для этого, однако, необходимы экзогенно заданная метрика в пространстве функций и компактность множества допустимых функций в этой метрике. К тому же построение оптимальных интерполяционных формул обычно представляет трудную математическую проблему. В этой связи представляет интерес рассмотреть более простой подход к решению задачи, имеющий и более широкую сферу применения.
Рассмотрим задачу интерполяции функции одного переменного f(X) по ее значениям в некоторых точках. При этом известно, что f(X) непрерывна, однако пределы ее изменения не известны. Очевидно, что решением такой задачи могут быть любые гладкие функции, график которых проходит через заданные точки. Среди них, естественно, могут быть и сколь угодно сильно колеблющиеся. Так, если наблюдения производились при целых X, то вместе cf(X) полностью согласованной с исходной информацией будет и любая функция вида f(X) + А$т(2пкХ). Однако на практике подобные функции отвергают, считая их "неестественными", изменяющимися "недостаточно плавно". Это позволяет выдвинуть гипотезу о том, что существует некоторый измеритель "гладкости" ("плавности"), по которому исследователь отличает "хорошие" ("гладкие") функции от "плохих" и отбирает лучшую из них.
Что может служить измерителем гладкости? Очевидно, какой-то интегральный показатель величин производных искомой функции. Оказывается, что если в качестве измерителя гладкости используется функционал (2i = dX, то наиболее "гладкой" (минимизирую-
щей этот функционал) функцией окажется кусочно-линейная, получающаяся при соединении отрезками соседних точек ("обычная" линейная интерполяция). Однако такое решение часто не удовлетворяет исследователей. Поэтому конструктора решают подобную задачу, соединяя соответствующие точки обычно тонкой линейкой, подпирая ее упорами ("крицами") в этих точках с той или другой стороны11. В результате получается сплайн [34, 35, 36], минимизирующий функционал <22 = Л/''W2 dXn. Обратим внимание, что интегралы здесь могут браться по всей числовой оси. При этом вне отрезка, на котором
В США пользовались гибкими рейками (spline), к которым подвешиваются свинцовые грузила.
12 Он построен путем "склеивания" многочленов третьего порядка, проходящих через данные точки графика.
34
сосредоточены наблюдаемые значения X, "оптимальная" функция окажется для Qx - константой, для Q2 - линейной. Тем самым обеспечивается не только интерполяция, но и экстраполяция наблюдаемых значений функции (в многомерном случае это одно и то же: про три произвольные точки пространства уже нельзя сказать, что одна из них лежит между двумя другими).
Метод сплайнов применим и в случае, когда значения функции Y, наблюдаются неточно. Так, если известно, что ошибки наблюдений не превосходят d, то задача сводится к минимизации функционала Q2 при ограничениях I Yt -f(X,)\ ^ d, Vr.
Функционалы гладкости применимы и для оценки функций многих переменных. Так, в двумерном случае хорошие результаты дает
применение функционала Q3 = J J I А/12 dxdy, где A - знак оператора
—оо —оо
Лапласа. Как и в одномерном случае, решение задачи здесь сведется к решению системы линейных уравнений, но "оптимальная" функция уже не будет кусочно-полиномиальной.
Более простые результаты можно получить в ситуации, когда ' известны какие-либо дополнительные свойства оцениваемой функции. Приведем два примера.
Пример 2.1. Пусть оценивается сепарабелъная функция Y = f\{Xx) + +... + fn{Xn) по наблюдаемым значениям (У„ Хи,..., Xnt). Здесь удобно
оо °°
использовать функционал Q = Z J ' ^ dXtи оптимальные
1 = 1 -оо
функции, минимизирующие этот функционал, оказываются одномерными сплайнами. Правда, решение здесь не единственно (к любой из функций fj можно добавить произвольную константу, а из любой другой - вычесть эту константу), но на значение Y это не влияет, а для получения однозначного решения достаточно наложить, например, ограничение/2(0) =/3(0) = ... =/„(0) = 0. ¦
Пример 2.2. Пусть требуется оценить однородную функцию известной степени а от двух переменных Z = F(X, Y) по ее значениям в точках (Х„ Yf). Такая функция определяется своими значениями на единичной окружности. Перейдем поэтому к полярным координатам и обозначим: Xt = /?,coscpr; Yt = 7?,sincp,; Z, = R^Ut; U, =/((p,). Теперь задача сводится к отысканию периодической функции / по ее значениям в точках ф„ для чего можно использовать функционал
Q2= j \ /"(ф) I2 dip. Оптимальным решением при этом будет перио-о
дический сплайн. ¦
Функционал гладкости, однако, должен учитывать и иную исходную информацию об оцениваемой функции. Так, при интерполяции монотонной функции с помощью функционала Q2 полученный сплайн может оказаться не монотонным. Здесь необходимо применять иные
