Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Между тем МП-метод используется и тогда, когда ошибки присущи наблюдениям нескольких переменных или когда количество случайных ошибок превышает количество наблюдений. При этом возникает двусмысленность, на которую в литературе, по-видимому, до сих пор не обращалось должного внимания. Дело в том, что в подобной ситуации неясно, правдоподобие чего должна отражать функция правдоподобия.
Пусть оценивается зависимость Y =f(X,a) по известным результатам наблюдений Ut = Xt + 2;, и Vt = Yt + г|,. В таком случае ошибки наблюдений связаны соотношением
Здесь неясно, должна ли функция правдоподобия отражать совместную плотность распределения ошибок иг), (т.е. плотность вероятности того, что одна из ошибок будет равна а другая - Г|,), либо она должна отражать плотность распределения одной случайной величны г), +f(U, - а) - Vt (т.е. плотность вероятности выполнения равенства (2.9)). В первом случае МП-метод позволит нам установить наиболее правдоподобные значения 2;, и Г|, (и соответственно - истинных значений наблюдаемых характеристик), во втором же - только наиболее правдоподобное множество пар (?„ г|,) удовлетворяющих ограничению (2.9). Таким образом, мы имеем два разных правдоподобия и соответственно два МП-метода. Условно можно назвать первый из них методом максимального правдоподобия ошибок (МПО-метод), а второй - методом максимального правдоподобия зависимостей (МПЗ-метод). Рассмотрим различия этих методов на примерах.
Пример 2.11. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0, ft], т.е. имеет плотность распределения Ь~1%(х/Ь), где Х(х) - характеристическая функция отрезка [0, 1]. Для оценки неизвестного параметра ft производятся Г наблюдений. Результатом f-го наблюдения является сумма Ut двух независимых реализаций (!;, и Г],) указанной случайной величины. МПО-метод использует функцию правдоподобия совместного распределения и г|„ что приводит к задаче
при ограничениях 2;, + т|, = Ut.
Легко видеть, что ее решением будет ft = — max?/,. Оптимальные
2 t
t,t и r\f здесь не единственны, однако одной из оптимальных является комбинация 2;, = Г|, = UJ2.
При использовании МПЗ-метода необходимо вначале установить распределение результатов наблюдений Ut = 2;, + Г|,. Легко проверяется, что их распределение треугольное с плотностью р(х) =
Л,+Л*/,-?р a)-Vt = 0.
(2.9)
П^2Х(^/^(Л,/^)=>п1ах
(2.10)
43
= ft-1 max {0; l-\b~lx-l\}. Поэтому оптимальное ft здесь должно находиться из условия: П ft-1 max {0; 1 - \b~xUrl\} => max. Нетрудно убе-
диться, что теперь оптимальное ft всегда будет больше половины максимального из Ut. ¦
Пример 2.12. Оцениваются параметры зависимости Y = = Ф (Хи Х2, Хп, а) по данным наблюдений Yt и Uit = Xit +
гДе bit ~~
независимые нормально распределенные ошибки с нулевыми средними и одной и той же неизвестной дисперсией S. Для применения МПЗ-метода необхо-димо определить плотность распределения случайной величины Ф(?/1г—?i„ •••fUnt-^nt, а). Эта задача сводится к вычислению п-кратных интегралов по областям, зависящим от вида функции Ф. Если Ф не линейна, это может представить значительную сложность.
В то же время при использовании МПО-метода подобных сложностей не возникает. Действительно, плотность совместного распределения наблюдений (функция правдоподобия) здесь равна
J1 -expj-(E/f-f - Xit)2 /2s\, поэтому решение задачи обладает сле-
дующими свойстами:
1) Для любого t точка (Хи, Xnt) является ближайшей к (Uif, Unt) точкой изокванты Yt = Ф(Х1;, X2t, Xnt, а) в евклидовой метрике.
Оптимальная оценка а находится из условия S min, т.е. по предложенному в [6] из других соображений критерию минимального среднеквадратичного расстояния от наблюдаемых точек (Uu, ...,Unt) до соответствующих изоквант функции Ф. ¦
Пример 2.13. Оценивается параметр а зависимости Yt = Xt + я, причем Хх и Yt наблюдается с аддитивными ошибками, т.е. результатами наблюдений являются величины Ut = X, + и Vt = Yt + t|r. Теперь искомую зависимость можно представить так: W, = а - ?>{ + г|„ где Wt = Vt - U,. Примем, что ошибки и Г|, имеют плотности распределения р(?, R) и <7(Г|, /?), зависящие от неизвестного параметра масштаба R.
При МПО-методе параметры а и R вместе с 2;, и rj, находятся путем решения задачи:
При МПЗ-методе функция правдоподобия отражает плотность распределения R) = 1<7(г|, R)p(^-^R)dr[ разности = Л/ - так что задача оптимизации параметров а и R принимает вид: L2 = = П s(Wt --я,Я)=>тах. ¦
2)S
L,= ПрЙг.*ЖЛмФ=*тах; л,ЧД-дУг.
44
В примере 2.13 обе ошибки имели одинаковый "масштаб" (/?). Между тем величина и "разброс" разных характеристик экономических объектов зависят от разных факторов. Поэтому хотелось бы использовать МП-метод и тогда, когда равенство (или пропорциональность) неизвестных дисперсий ошибок разных переменных не предполагается. Однако в этой ситуации МП-метод не всегда "работает".
Пример 2.14. Оценивается зависимость Yt-aXt в условиях, когда вместо Xt и Yt наблюдаются U, = Xt + 2;, и Vt = Y, + Г|„ причем ошибки 2;, иг|, независимы и имеют нормальные распределения с нулевыми средними и неизвестными дисперсиями Q и R. Легко видеть, что здесь Vt = aUt + a?)t-T\t.
