Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
(t = 1,...,Г), выражающие "чувствительности" интегрального отклонения по отношению к изменению локальных. Следующее утверждение [15] (близкие результаты, выраженные в терминах эластичностей замещения одних факторов другими, доказаны в [30, 31, 32]) дает аксиоматическое описание широкого класса агрегирующих нормальных функций.
Утверждение. Пусть количество наблюдений больше 2. Если функция Q нормальная и чувствительность интегрального отклонения по отношению к изменению каждого из локальных зависит только от доли последнего в интегральном отклонении, то
G = [(Vi)P+- + (*r"r)P],/P. (2.1)
где Р Ф 0, ЪТ- положительные константы.
Доказательство. Тот факт, что величина qt зависит только от отношения uJQ, может быть выражен соотношениями:
Э6(М!,...,МГ) _
4N
(t = i,...,T),
(2.2)
где/, - некоторые неизвестные функции одного переменного. Дифференцируя (2.2) по другой переменной us, получим:
э2е = э
dusdut dus
м (ut)
IfiJ QlJ, [qj
ГиА/
a*
Q
Это равенство должно сохраниться, если номера наблюдений s и t
поменять местами, поэтому ft куда следует, что
Г.. Л
fs
- Q2h
f,
OT-
HM,iQ)=uJtXUt'Q) ' ' QfMt'Q)
u,f,Xu,'Q)
Qfs(us IQ)
31
Поскольку Т > 2, возьмем какое либо к е [1, 71, отличное от s и г. Меняя подходящим образом uh можно добиться, чтобы при изменении us и и, величина Q не менялась. Поэтому при всех возможных значениях аргумента функция Н„ а значит и Я5, будет принимать одно и то же постоянное значение, которое мы обозначим через Р - 1. Поскольку номера наблюдений s и / могут быть выбраны произвольно, следует,
что Hs(z) = = р~ 1 при всех s. Решая это уравнение, найдем
fs(z) = asz^~l, где as - некоторая константа. Но тогда в силу (2.2) имеем:
Ut (Г = 1.....Г). (2.3)
Q)
Полученная система дифференциальных уравнений имеет два типа решений.
1) если Р = 0, то б = «Г1 . Такая функция не нормальна: если U\ = 0, то при аь..., ат > 0 и любых значениях других us интегральное отклонение будет оставаться равным нулю;
2) если Р Ф 0, то Q~(axu\ +... + ати% +Ь)и^. Эта функция будет нормальной только, если b = 0, а все а{ - положительны. Но тогда она имеет вид (2.1). ¦
Потребовав дополнительно, чтобы функция Q была симметричной, из доказанного утверждения легко получить, что (с точностью до постоянного множителя)
G = (Mf+... + 4)"P. (2.4)
При Р = 1 или 2 полученный критерий приводит к методам наименьших модулей или наименьших квадратов. В первом случае чувствительность интегрального отклонения по отношению к изменению каждого из ut - постоянная величина, во втором - пропорциональна доле ut в интегральном отклонении. При этом в обоих случаях могут использоваться не только абсолютные, но относительные отклонения (это предлагалось в [6, 33]) или отклонения от изокванты.
Предельными для функций (2.1) при Р -» °о, являются функции вида Q = max{/?!«!,..., bTuT)y из которых симметричной будет только одна (с точностью до постоянного множителя): Q = тах{мь..., ит]. Эти функции не являются нормальными: если, например, отклонение щ мало по сравнению с отклонениями других наблюдений, его увеличение не сказывается на величине интегрального отклонения Q. Тем не менее в ряде случаев такие агрегирующие функции также используются в эконометрических расчетах (последняя отвечает минимаксному методу оценки зависимостей).
32
Использование показателя интегрального отклонения как критерия оптимальной оценки зависимостей широко распространено и часто дает практически полезные результаты, однако такой метод нельзя считать универсальным по следующим причинам.
1. Способ измерения локальных отклонений и вид агрегирующей функции Q, как правило, задаются экзогенно, а не выводятся логически из имеющейся информации. В результате Q не может трактоваться как оценка совокупных потерь от неточного восстановления функции, что предложено в [1. С. 168] (так, без специального экономического расчета трудно представить, чтобы в реальной ситуации подобные потери были пропорциональны сумме квадратов локальных отклонений или хоть как-то скоррелированы с ней).
2. Минимизация Q не позволяет учесть информацию о степени влияния "прочих факторов". Так, трудно считать достаточно точной рассчитанную этим методом зависимость урожайности от количества вносимых удобрений, если известно, что она во многом определяется погодными условиями. Аналогично нельзя считать достаточно точной зависимость, обеспечивающую среднеквадратичное отклонение 2, если мы знаем, что случайная ошибка наблюдения имеет дисперсию не менее 100.
3. При построении агрегирующей функции ее аргументы (и,) предполагаются независимыми. Поэтому критерий интегрального отклонения не учитывает имеющуюся информацию о зависимости между ошибками наблюдений разных объектов (или одного и того же объекта в разные моменты времени), например, о том, что щ = и2 или и2 + и3.
При оценке параметрических зависимостей методом минимизации интегрального отклонения обычно не удается правильно учесть часто встречающиеся в экономике ограничения на вид оцениваемой зависимости (например, обеспечить монотонность Ф(Л0 по переменной Х\ и ее выпуклость по переменным Х2 и Х3). Пытаясь преодолеть эту трудность, на практике нередко варьируют составом объясняющих переменных и количеством вводимых параметров, заменяя содержательный анализ математическими спекуляциями. В этой связи прикладная статистика изучает проблему обеспечения "компромисса между степенью общности привлекаемого класса допустимых решений и точностью оценивания, которой возможно при этом добиться", и ставит вопросы типа "нужно ли для достижения максимальной точности в задаче восстановления значений результирующего показателя по значениям предикторов включать в модель все предикторные переменные, а если не все, то сколько и какие именно?" [1. С. 190-191]. Вопросы такого рода оправданы, по нашему мнению, только в случаях, когда речь идет об установлении каких-либо зависимостей лицами, не являющимися специалистами в соответствующей области, которые могут по своему произволу менять состав учитываемых факторов. В квалифицированных же исследованиях как состав объясняющих показателей, так и вид зависимости устанавливаются исходя из существа исследуемой проблемы.
