Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
/"(*) = Y, + Y'*~Y' {х-Х,)^ f(x)^ f+(x) =
= mJYi +^^-(х - X,); Yt+X +Y"2~\+X (х - Xt+])}
[ A,_j-A, Л,+2-Л,+, J
(при t = 1 и t = T - 1 из двух величин, стоящих здесь под знаком минимума, остается только одна). Поэтому наилучшей оценкой для f(x) будет вогнутая функция, равная (f+(x) +/"(дс))/2 на отрезке (Х„ Х,+1). Разбивая отрезок [А, В] узлами интерполяции на все большее число равных частей, можно получить, что любая вогнутая на [Л, В] (но не на всей числовой оси!) функция будет асимптотически измеримой.
Данный подход (он применим и в многомерном случае, однако расчетные формулы становятся сложнее) явно ориентирован не на эконометрические, а на технические или вычислительные задачи, отличающиеся характером исходной информации. Вероятно, он может эффективно использоваться в стандартизации и техническом нормировании. Однако в эконометрике сфера его применения ограничивается, по нашему мнению, зависимостями между экономическими и физическими или техническими показателями объектов. По-видимому, он применим при установлении зависимости затрат на добычу полезного ископаемого от глубины залегания или себестоимости изделия от серийности выпуска (подобных зависимостей на практике довольно много, но теоретических моделей для большинства из них не разработано). Однако здесь важно учесть, что такие традиционные для математики метрики, как равномерная или интегральная, для рассматриваемого класса задач обычно неудобны. Например, в равномерной метрике расстояние между функциями Y = 2Х и Y = 2,01Х, если их рассматривать на всей положительной полуоси, бесконечно велико, в то время как любому эконо-
9 Такие границы можно указать в других ситуациях, например, когда известно, что ,п Ах) - вогнутая функция, стремящаяся к -оо при U | —> <».
27
мисту-практику такие функции покажутся близкими. Наоборот, в той же метрике зависимости Y = X иУ = X + 0,1 близки, хотя в конкретной ситуации эти функции для экономиста могут показаться совершенно различными (например, в ситуации, когда X - планируемая мощность предприятия, Y - затраты на его строительство, то для экономиста очевидно, что на строительство завода нулевой мощности нужны нулевые затраты, и потому вторая зависимость должна быть отвергнута и не может считаться близкой к первой).
Таким образом, хотя подход, связанный с введением "традиционных математических" расстояний между зависимостями и является формально корректным, его практическое применение требует большой осторожности. При введении метрики в пространстве функций необходимо учитывать и цели исследования. Например, в [6, 29] рассмотрена ситуация, когда целью исследования является возможно более точное определение "поверхности уровня" искомой зависимости, т.е. множества таких значений аргумента X, которым отвечает данное значение Y. Отсюда вытекает целесообразность измерения расстояния между функциями через хаусдорфово расстояние между их "поверхностями уровня" (см. также п. 2.3).
2.2. Принцип минимальных потерь
Часто конечной целью построения зависимостей между характеристиками экономических объектов является исследование и оптимизация хозяйственных решений. В этом случае ошибка при оценке зависимости сопряжена с возможными финансовыми или иными потерями (ущербом), которые хотелось бы минимизировать. Это означает, что в основу получения оптимальной оценки зависимости может быть положен принцип минимизации потерь n(f, g) от применения g вместо/. Соответственно точноть решения g будет характеризоваться максимумом величины n(f, g) по всем допустимым функциям/, а оптимальным решением будет функция g, минимизирующая эти максимальные потери. Именно такой подход использован, например в [1], при описании построения регрессионной функции как решения задачи оптимизации. Отметим, однако, что функция потерь n(f, g) не обязательно обладает свойствами расстояния (например, может не выполняться неравенство треугольника), так что рассматриваемый принцип не совпадает с принципом минимального расстояния.
Опираясь на изложенный подход и используя стоимостные или натуральные оценки потерь, можно узнать, насколько вырастут потери пользователя искомой зависимости {заказчика), если он будет опираться на другую, неточную зависимость. Это, безусловно, является преимуществом данного подхода. В то же время присущий ему недостаток есть продолжение его достоинств: для построения экономически интерпретируемой функции потерь необходимы специальные экономические
28
исследования (включая и экономико-математическое моделирование потерь) - это существенно повышает требования к исходной информации. К тому же величина потерь всегда зависит от цен и других быстроменяющихся характеристик экономического окружения, что вынуждает пересматривать оценки зависимостей при изменении внешней ситуации.
2.3. Принцип минимума интегрального отклонения
Точность оценки неизвестных зависимостей нередко оценивается следующим образом. Пусть истинные значения показателей Y и X связаны зависимостью Y = f(X), а по наблюденным значениям (У„ Xt) оценена (построена) зависимость Y = Ф(Х). При этом равенства Yt = Ф(Х,) могут не выполняться. Точность восстановления истинного значения Ф(Х{) ("локальная" точность найденной зависимости) может быть охарактеризована показателем (локального) отклонения - некоторой функцией и, = ф(Х„ У,), обращающейся в нуль при Y, = Ф(Х,)10.
