Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос о рациональном выборе фунций ср нетривиален и заслуживает более подробного рассмотрения. Обычно в этом качестве выступают абсолютное отклонение и, = I Yt - Ф(Х,) | и относительные отклонения и{ = | У,/Ф(Х,) - 11 и w, = 1 Ф(Х,)/У, - 1 i. Однако специфика экономических исследований обусловливает применение в некоторых случаях и иных, недостаточно хорошо исследованных в математическом аспекте методов измерения отклонений (мы не останавливаемся здесь на важном вопросе, в каких именно ситуациях целесообразно использовать тот или иной метод). Так, использование абсолютных и относительных отклонений оправдано, когда объясняемая характеристика Y наблюдается с ошибками, однако это перестает быть естественным, если ошибки присущи наблюдениям объясняющих переменных. В подобных ситуациях отклонение щ полезно измерять расстоянием от точки Xt до изокванты Isoq(Kr) = [Х\Ф(Х) = У,} [6]. Однако расстояние от точки до множества может вводиться по-разному. Так, щ можно определить как евклидово расстояние от точки Xt до ближайшей к ней
точки Xt е Isoq(y,). Этот способ не учитывает "относительной весомости" отдельных характеристик (компонент вектора X), однако указанный недостаток может быть устранен, если эти характеристики предварительно нормировать или, что то же, использовать для определения расстояния не простую, а взвешенную сумму квадратов разностей (Xit-Xjt). Между тем можно учесть, что экономическое содержание переменных X позволяет ввести в пространстве характеристик дополнительное отношение "сходства". Так, если компоненты вектора X отражают объемы ресурсов, производимых или затрачиваемых наблю-
10 Для регрессионных зависимостей отклонения м, часто трактуются как "потери от неточности восстановления значения" математического ожидания Y при Х-Х{.
29
даемым объектом, возникают два естественных отношения "сходства" ("общности"):
1) сходными с вектором X считаются вектора X' вида XX, имеющие ту же структуру, то же соотношение между ресурсами;
2) сходными с вектором X считаются вектора X', имеющие ту же ценность, т.е. стоимостную оценку ресурсов. Если обозначить через р вектор цен на ресурсы, то условием "сходства" будет равенство р%Х' - р*Х, где • - знак скалярного произведения.
В подобных ситуациях более полный учет "качественной" информации об объектах ГС и экономическом содержании исследуемых характеристик этих объектов может быть обеспечен, если определить отклонение ut как евклидово расстояние (при необходимости - с весами)
от точки Xt до ближайшей к ней сходной точки изокванты Х( е Isoq(y,). Вычисление таких отклонений часто не составляет особой сложности. Пусть, например, фукнция Ф(Х) - однородная степени h по совокупности входящих в нее переменных, а сходными считаются пропорциональные вектора. Тогда единственной точкой изокванты Isoq(y,), "сходной" с
Г Hi/*
Y
точкой Xt, будет Xt = XtXгде X. = —-— . Этому отвечает
относительное отклонение | Х{ - 11 и абсолютное отклонение-ut = \X't - XtI = ||ЛГ;|| • \kt -1|, где \Xt\ - расстояние от точки Xt до начала координат.
При правильном измерении локальных отклонений они, безусловно, характеризуют точность соответствующей зависимости. Так, если все они малы, соответствующую зависимость обычно считают достаточно точной. Однако чаще имеет место ситуация, когда для одних t отклонения щ малы, для других - велики. В этой связи необходимо ввести дополнительную характеристику - интегральное отклонение, агрегирующую информацию о величине отдельных локальных отклонений. Ее естественно представлять как некоторую функцию Q(ux,иТ) от независимых локальных отклонений щ,ити использовать в качестве критерия оптимального оценивания (отметим, что в качестве критериев оптимальной оценки зависимостей функция Q и любая монотонная функция от Q эквивалентны).
Агрегирующая функция Q при данном методе обычно задается априорно, однако разумные способы агрегирования локальных отклонений (или "потерь") обязательно должны удовлетворять двум условиям "нормал ьности ":
• если все локальные отклонения равны нулю, то и интегральное отклонение тоже равно нулю: Q(0,0) = 0;
• при увеличении любого локального отклонения интегральное отклонение возрастает.
Иногда от агрегирующей функции требуется еще и сим-
30
метричность: интегральное отклонение должно зависеть лишь от величины локальных отклонений, но не от того, в каком порядке они занумерованы. Это требование, однако, может быть неоправданным применительно к обработке временных рядов или, в более общем случае, несинхронных наблюдений экономических объектов.
Обычно для агрегирования применяются такие нормальные функции, какхумма квадратов отклонений, сумма модулей, максимальный из модулей отклонений и т.д. Выбор между ними или обращение к другим функциям неочевидны. В этой связи представляется целесообразным использование аксиоматического подхода к построению показателя интегрального отклонения, когда вид агрегирующей функции выводится из требуемых ее свойств "дифференциального" характера. Для их
формулировки введем показатели qt(ux,...,uT) = -г-— ,
