Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
фовым расстояние от g до 2)7. Отсюда вытекает постановка задачи оптимизации оценки, т.е. выбора такого решения g, которому отвечает минимальное расстояние p(g, 2)). Тем самым оптимальная оценка здесь базируется на принципе минимального расстояния.
В ряде случаев конкретную задачу оценки зависимости можно рассмотреть как элемент некоторой последовательности таких задач с разным объемом исходной информации (так, задачу оценки параметров зависимости У =f(X) по известным значениям (У„ Xt) можно "вложить" в последовательность таких задач с возрастающим количеством узлов интерполяции X,). Если точность оценки зависимости стремится к нулю с увеличением номера задачи, такую оценку (метод оценки) обычно называют состоятельной, а искомая зависимость становится асимптотически измеримой. Однако при малом количестве наблюдений сведения о состоятельности оценки могут принести исследователю скорее моральное удовлетворение. В подобной ситуации более информативной будет проверка используемого метода оценки на ряде стандартных тестовых задач, аналогично проверке эффективности численных алгоритмов оптимизации [21].
Применение принципа минимального расстояния оказалось плодотворным в приближенном анализе. Существенную роль здесь сыграли идеи А.Н. Колмогорова [22] и основанные на них оптимальные методы численного интегрирования, предложенные в [23]. Оказалось/что те же идеи могут быть использованы для решения задачи интерполяции -первые результаты такого рода получены в [24-27]. Здесь предполагается, что множество допустимых функций - компакт 2) в не-
7 Разумно ввести "среднее расстояние" в функциональных пространствах не удается, ибо там нет подходящей вероятностной меры, на которой можно было бы базировать исчисление подобных средних.
25
котором метрическом пространстве, метрика в котором характеризует "точность" (ошибку) интерполяции. Тогда имеющаяся информация - в данном случае ограничения Yt =/(Х,), t = 1, Г, - сужает множество допустимых (согласованных с исходной информацией) функций до 2Й -некоторого компактного подмножества 2). Тогда в качестве искомой функции/можно взять центр шара минимального радиуса, описанного вокруг Йй - при этом радиус шара будет характеристикой возможной ошибки. Отсюда естественно вытекает постановка задачи об оптимальном выборе "узлов интерполяции" Хп обеспечивающих наибольшую точность интерполяции любых функций из 2) (ищется минимальное R такое, что при любых Y, все точки из 2), для которых f(X,)= Yh содержатся в некотором шаре радиуса R).
В литературе, начиная с [21, 24, 25, 26], исследован широкий класс подобных задач. В частности, рассмотрены функции как одного, так и нескольких переменных, в том числе и комплексных, различные типы множеств допустимых функций и метрики (в частности, С и L2). При этом построено много оптимальных или близких к ним интерполяционных формул и показана их состоятельность (с увеличением числа узлов интерполяции при не очень плохом их выборе ошибка оценки стремится к нулю). Установлена и связь оптимизационных задач теории оценки функций с поперечниками множеств в функциональных пространствах [24, 28]. Однако все результаты такого рода получены при весьма специфических ограничениях - предполагаются известными пределы изменения производных искомой функции (ограничениям на производные более высокого порядка отвечают более точные интерполяционные формулы). Эти результаты нашли применение в задачах табулирования и при разработке стандартных программ для ЭВМ [21], однако их применимость в экономике сомнительна, ибо исходная информация здесь относится к относительно небольшому числу объектов и не всегда позволяет определить границы производных искомой фунции. Наличие ограничений на "гладкость" функции здесь принципиально. Если неизвестно, насколько гладкой является функция, сколь велики могут быть ее производные, какова ее "аналитическая структура", класс допустимых функций предельно расширяется, а ошибка решения, например, за счет неточного определения точек разрыва или резкого роста, может оказаться какой угодно8.
В то же время данный подход применим и при наличии ошибок наблюдения. Так, если вместо истинных значений Yt и Xt наблюдаются значения U,nVtn ошибки этих наблюдений не превосходят соответственно ? и 8, то на множество 2) допустимых функций накладываются дополнительные ограничения: \xt-Ut\ ^8, \f(Xt) - V,\ ^ е. Однако, если ошибки - случайные, такой подход уже неприменим (п. 2.7).
8 Например, если ищется зависимость затрат на изготовление машины от какого-либо технического параметра, то обычно априори неизвестно, не возникают ли резкие изменения затрат в каком-либо диапазоне значений этого параметра.
26
Интересные ситуации возникают, когда класс "допустимых** функций не является компактом. Пусть, например, Y - неубывающая функция от X и А = X] < ... < Хт = В. Очевидно, что при X, ^ лХ,+1 будет Yt ^/W ^ Yt+\, причем эти границы неулучшаемы. Поэтому наименьшая (в равномерной метрике) ошибка интерполяции достигается, если взять в качестве/(х) монотонную разрывную функцию, принимающую значения Yt в точках Xt и (У, + Кг+1)/2 - в интервалах X, < х < Х,+1. В то же время указать заранее, сколько узлов интерполяции потребуется для достижения заданной точности, невозможно, как нельзя указать и какие-либо двусторонние границы для искомой функции вне "интервала наблюдений" [Л, В]9. Тот же подход можно использовать, если известно, что искомая функция выпукла или вогнута. Скажем, для вогнутой f(x) на отрезке X, ^ х ^ Х(+1 при 1 < t < Т - 1 имеют место неравенства
