Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
2. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ЗАВИСИМОСТЕЙ
Часто легче отстаивать принципы, чем жить по ним.
Эдлай Стивенсон
Обычно "качество" построенной статистической зависимости оценивается по тем или иным критериям. В конечном счете все эти критерии задаются априорно, однако между разными критериями есть принципиальные различия. Одни из них, как сумма квадратов отклонений, действительно, задаются априорно и непосредственно - это характерно для раздела прикладной статистики, известного под названием "анализ данных" [18, 19]. С другой стороны, такие критерии, как максимум правдоподобия, выводятся из существа рассматриваемых задач, хотя подобный вывод и нельзя считать математически строгим. В данном разделе мы рассмотрим различные критерии и покажем, что в целом второй, индуктивный путь построения критериев более плодотворен, а сфера его применения может быть существенно расширена.
2.1. Принцип минимального расстояния 2.1.1. Параметрический случай
Довольно часто теоретический анализ показывает, что искомые зависимости - параметрические, т.е. имеют вид известной функции Y = Ф(Х, а) от (векторной) объясняющей переменной X и конечномерного вектора неизвестных параметров а. Примером такой зависимости является модель Кейнса-Голдсмита зависимости сбережений S от дохода Y: S = c(Y-b), где с - предельная склонность к сбережениям, Ъ - доход, отвечающий нулевым сбережениям. Весьма интересный пример содержательного анализа, приводящего к параметрическому виду зависимостей, можно найти в теории производственных функций [4-6].
Простейшая задача оценки отвечает ситуации, когда ошибки наблюдений отсутствуют и Ф - полином от X с коэффициентами, образующими вектор а (задача полиномиальной интерполяции). Ее решение дается интерполяционной формулой Ньютона. "Подгонка" параметров под результаты наблюдений издавна применялась в астрономии при описании движения планет. Со временем Птолемея предполагалось и
23
считалось законом, что планеты равномерно вращаются по окружностям вокруг Земли. Когда это пришло в противоречие с наблюдениями, закон уточнили - приняли, что планеты равномерно вращаются по окружностям (эпициклам) вокруг некоторых точек, которые, в свою очередь, равномерно вращаются по окружностям вокруг Земли. Задача при этом сводилась к отысканию радиусов указанных окружностей и скоростей вращения по ним на основе большого числа экспериментальных данных. Накопление астрономических наблюдений и повышение их точности, однако, показали, что модели такого рода расходятся с действительностью, в связи с чем было введено (между прочим, довольно естественное для эконометриков и инженеров) уточнение -предложили увеличить количество эпициклов. С математической точки зрения это были попытки приблизить формулу эллиптического (кеп-леровского) движения планеты вокруг Солнца первыми членами ряда Фурье - тригонометрическим полиномом. Из этого примера видно, что неудачный выбор вида зависимости порой не только приводит к значительным вычислительным трудностям, но и способен на долгое время затормозить развитие науки.
Во многих случаях цель исследования состоит в оценке всех или наиболее важных параметров искомой зависимости. Так, рассчитав радиусы эпициклов и скорости обращения по ним, средневековый астроном мог спокойно "поставить точку" и сказать, что характер движения планет им установлен и дело остается лишь за тем, чтобы повысить точность найденных им величин, включив в расчеты последующие наблюдения.
Аналогичная ситуация имеет место и в экономических исследованиях, например, при оценке зависимости доходности акций данной фирмы от положения в экономике в целом, характеризуемого доходностью всего рыночного портфеля акций. Используемая здесь модель САРМ [20] учитывает специфику эмитента двумя параметрами, а ее точность определяется точностью оценки этих параметров. Однако здесь оцениваемых параметров несколько, и поиск оптимальных оценок становится многокритериальной задачей. С другой стороны, часто значимость разных параметров для исследователя не одинакова. Так, при построении производственной функции Кобба-Дугласа In Z, = a In Xt + + (1 - а) In Y, + Р целью часто является оценка параметра а, отражающего эластичность национального дохода Z от капитальных ресурсов X, и "качество" решения определяется точностью оценки именно этого параметра.
Следует, однако, иметь в виду, что даже в задаче оценивания параметров в линейной регрессионной модели нельзя ответить на вопрос, какова же точность полученного решения (в указанном смысле). В лучшем случае здесь можно указать некоторую, например, 95%-ную доверительную область для вектора оцениваемых параметров, однако и в этом случае 5% исследователей, использующих данный метод, будут получать доверительные области, не содержащие истинного вектора параметров.
24
2.1.2. Непараметрический случай
При оценке непараметрической зависимости У =f(X) считаются известными некоторые свойства искомой функции, определяющие бесконечномерный класс функций в метрическом пространстве, которому она принадлежит. Но ни эти свойства, ни результаты наблюдений не могут дать полную и точную информацию о зависимости между характеристиками объекта. Поэтому трудно ожидать, чтобы функция/, согласованная пусть даже со всей имеющейся информацией, оказалась единственной - таких функций (будем называть их "допустимыми") будет достаточно много, и они образуют некоторое множество 2), в котором исследователь должен указать определенный (какой именно, зависит от применяемых методов оценки) элемент g. Если бы функция/ стала известной, точность такого решения можно было бы оценить расстоянием p(f, g) от/до g. Однако искомая функция /неизвестна. В этой связи точность решения задачи может оцениваться максимальным "расстоянием" p(g,2b) = supp(g,/) между g и элементами 2), т.е. хаусдор-
