Эконометрические зависимости: принципы и методы построения - Клейнер Г.Б.
ISBN 5-02-008348-8
Скачать (прямая ссылка):
Если имеется несколько теоретических моделей искомой зависимости, МП-метод позволяет не только оптимально оценить их параметры, но и выбрать лучшую из них (при этом важно, чтобы функции правдоподобия в разных моделях отражали плотности распределения одних и тех же переменных).
Пример 2.7. Имеются две модели зависимости между Y иХ: Yt = = аХ, + где - независимые нормально распределенные ошибки с нулевым средним (см. пример 2.4). В модели 1 дисперсия постоянна, в модели 2 - пропорциональна Х„ соответственно будут различаться и функции правдоподобия и оптимальные значения а. При этом лучшей модели будет отвечать большее значение функции правдоподобия (по существу, это эквивалентно получению МП-оценки дискретного параметра / - номера модели; поэтому близким значениям параметра не обязательно должны отвечать близкие зависимости). Используя формулы примера 2.4, получим, что для этого надо сравнить
2пе
-1-772
l(Yt-aXt)2
2ке
-,-772
Z(Yt-aX,)2/Xt
Tlx,
-1/2
. Поэтому
при сравнении моделей 1 и 2 (с оптимальными для них параметрами а) было бы неверно сопоставлять сумму квадратов "обычных" отклонений
40
-aXt)2 в модели 1 с суммой квадратов взвешенных отклонений
МП-метод может использоваться и при неоднородности исследуемой совокупности.
Пример 2.8. Исследуется зависимость между производственной мощностью (Р) предприятия и затратами (С) на его создание. Теоретический анализ [15] показывает, что эта зависимость степенная: С - С\Ра, где а - подлежащий оценке фактор концентрации, отражающий процентный прирост затрат при увеличении мощности на 1%. Обозначив 1пС = Y, 1пР = Х, \псх =Ьи учтя влияние "прочих" факторов, представим эту зависимость как регрессионную: Y = <хХ + Ъ + Ошибки ^ будем предполагать независимыми и имеющими нормальное распределение с нулевым средним. Для определения а можно было бы применить метод наименьших квадратов (см. пример 2.5), используя данные Y, и X, для действующих предприятий. Однако можно получить и более точные результаты, если учесть, что влияние фактора концентрации должно отражаться и при проектировании новых предприятий. С учетом возможных просчетов в определении сметной стоимости объектов при их проектировании и влияния на эту стоимость факторов, не связанных с мощностью объектов, соответствующая модель должна быть записана в виде Vk = aUk + d + г|ь где Vk - логарифм сметной стоимости предприятия по r-му проекту (к = l,...,K), Uk- логарифм его проектной мощности. Существенно, что значение а в обеих моделях одно и то же, хотя свободные члены и дисперсии S и R ошибок переменных и цк различны.
Критерий правдоподобия в данном случае относится ко всей совокупности фактической и проектной информации и имеет вид:
Для оптимального а отсюда получается нелинейное уравнение, решаемое численными методами. Такой подход был применен в [15] к расчету влияния фактора концентрации производства на показатели предприятий сборного железобетона. ¦
При использовании МП-метода возможен и байесовский подход, подробно рассмотренный в [1, 39]. Здесь предполагается, что оцениваемый параметр а является реализацией некоторого случайного вектора с известным априорным распределением.
Пример 2.9. Оценивается параметр а в зависимости Yt = aXt + ^h где ошибки независимы и имеют нормальное распределение с
Х(У, -aXt)2 IXt в модели 2. ¦
41
нулевым средним и дисперсией ЬХ1У пропорциональной Xt. Предполагается, что априорное распределение величины а - показательное со средним значением т. Функция правдоподобия здесь имеет вид:
Т \ 2
пг\e-~alm fl e<Yt-aXt) llbXt ^ и е? максимизация прИВОДИТ К фор-
t=\^2nbXt
мулам:
a = L_™L+ If—Y+f-Y-—; ьЛЦ<*<-У\
U 2 2 J {иJ </' Г,Г, X,
т т ту2
где ?/=!*,; У=ХГ,; W= ¦
Пример 2.10. Рассмотрим ту же производственную функцию, что и в примере 2.6, представив ее в виде линейной зависимости Y = аХ + (3, где Y - логарифм производительности труда, X - логарифм фондовооруженности труда. С учетом влияния прочих факторов результаты наблюдений могут быть описаны моделью Yt = аХ, + Р + где ошибки имеют нормальное распределение с неизвестной дисперсией S. Ставится задача оценки параметра а в этой зависимости. По экономическому содержанию О < а < 1, причем имеющиеся данные по другим странам позволяют считать априорное распределение этого пара-
метра бета-распределением с плотностью ц ) а и на~
v-1
иболее вероятным значением--—. Тогда МП-критерий принимает вид:
Л!^(1-а^ (2.8)
IW(v)V "i V2reS
1 Т 2
Максимизируя по 5, найдем: S = — %(аХ( - Yt - Р) , после чего кри-
Т г=1
| Г т п-Г/2
терий (2.8) упрощается: (l-a)^-1^"1 —
1(Уг-осХг-Р)2
max.
Отсюда для определения а получается уранение 4-й степени, имеющее единственный корень 0 < а < 1. ¦
2.6. Два правдоподобия
В классическом регрессионном анализе предполагается, что объясняемая переменная наблюдается с ошибкой, в то время как объясняющие переменные предполагаются измеренными точно. В этой ситуации функция правдоподобия в равной мере характеризует и правдоподобие
42
истинного значения переменной и правдоподобие ошибки наблюдения.
