Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
*) Такое явление образования зародышей пыло зарегистрировано на фотопленке, лрадящеися в Исследовательском центре имени Поля Паскаля (Та-ленс, Франция).
ГЛАВА 12
ОПИСАНИЕ ФЛУКТУАЦИИ
В ПРИБЛИЖЕНИИ «СРЕДНЕГО ПОЛЯ».
НЕЛИНЕЙНОЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
12.1- введение
Формализм многомерного фундаментального уравнения дает правильное описание макроскопической системы в том случае, когда число представляющих се ячеек велико. В этом случае число случайных переменных также очень велико, и решение фундаментального уравнения, описывающего эволюцию вероятностей в терминах этих переменных, значительно усложняется.
В настоящей главе мы обсудим упрощенный подход, в котором система рассматривается как совокупность двух взаимодействующих подсистем; одна подсистема имеет небольшой объем АУ, а другая занимает остальную часть объема У — АУ, как это показано на рис. 12.1. Это, конечно, не означает, что данная малая подсистема является выделенной. На самом деле можно считать, что все пространство заполнено такими же подсистемами, испытывающими разнообразные флуктуации. Однако в лоследуюших разделах мы будем анализировать именно случай, когда выделена одна подсистема, по остальным же будет проводиться усреднение. Иными словами, нас интересует скорее приведенное, нежели общее описание.
Основанный на таком подходе анализ особенно пригоден для изучения локализованных флуктуации, имеющих определенный
Рис. 12.1. Перерос частиц через поверхность Д2, выделяющую из макроскопической системы подсистему с малым Объемом ДУ.
Внешняяя нормаль к АХ обозначена п. v — скорость частиц, поступающих в ау. Штриховкой выделена область, ширина которой близка к средней длине свободного пробега i
Описаній флуктуации в приближении «среднего поля»
327
размер в пространстве, которому можно сопоставить объем АУ и таким образом учесть в теории. Из разд. 11.7—11.10 следует, что фактически этот размер определяется свойствами корреляционной функции Б{г\, гг)- В частности, в окрестности неустойчивости-размер флуктуации, а также связанный с ним объем АУ должен значительно превышать размер отдельной ячейки, рассматривавшейся в формализме многомерных уравнений (см. гл. 11).
12.2. ВЫВОД НЕЛИНЕЙНОГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Обратимся еще раз к рис. 12.1 и будем считать, что система остается макроскопически однородной, хотя локально, внутри малых подсистем с объемом АУ, однородность может нарушаться за счет флуктуации плотности и концентраций. Чтобы провести анализ в случае неоднородного Стандартного состояния, следует переопределить должным образом различные вероятности перехода. Такой расширенный формализм пригоден также для изучения флуктуации в гидродинамических системах [243].
Поскольку объем АУ конечен, используемый здесь подход, хотя и является локальным, основан на применении дискретных переменных, а именно чисел частиц разного сорта Х-^, Хащ внутри и вне подсистемы АУ- Соответствующие интенсивные переменные определяются следующим образом:
в то время как
<р*>= ? Х*?Ф^- (12-1) х-ш-а
Можно ожидать, что
Пш /ру \,„ конечен, (12.2)
хотя в общем случае флуктуации бр^ = р^|а — (рх|п) не являются гладкими функциями АУ.
Обозначим через Рьу{Х\П, 0 распределение вероятностей *) в подсистеме АУ, а через Р(Хш, Лош, ¦() — распределение вероятностей для всей системы. Пусть Р, — вклад химических реакций, а Р—вклад процессов переноса через поверхность Д2
*) В этом разделе мы будем использовать сокращенные обозначения, подразумевая под X полный вектор химических переменньгх X ЗЕ Х„).
328
Глава 12
в производную Р по времени. Как и в гл. 11, учитывается только перенос вещества, а температура считается постоянной за счет быстрой тепловой релаксации. Обибщепие на неизотермический случай было выполнено Фрэнксоном [111]. Соответствующее фундаментальное уравнение принимает следующий вид:
dP
dt
= Лм'№„) + /\м'. v-M>№n. АГош). (12.3)
Записывая это соотношение, мы вновь воспользовались предположением о том, что процесс является марковским, считая, что вклад химических реакций, протекающих в AV, зависит лишь от случайных переменных в AV- Мы будем предполагать, чго протекающие внутри AV процессы можно отнести к типу рождения— гибели, хотя в общем случае это не относится к случайному процессу, протекающему во всей системе объемом у.
Транспортный член Ft ответственный за сопряжение между AV и V — AV, легко выводится при помощи соотношения (11,27). Имеем
F&v, V-uV~Zi {woul (Х\п — 1, Xout + 1 — * Xin, Xout) x XP(Xln-\, -w+ 1, 0 +
+ач„ 1. Xoul-\->X,„, Xo«i) P №„+1, XolA-1,0-(Xin. Xovl) + а>;п ttin, *oul)] P {Xin, Хш, Ob (12.4)
Вероятности переходов в единицу времени ауот и W\„ соответствуют частотам прохождения частиц X через поверхность 4S п определяются выражениями, аналогичными формуле (11.28а). Здесь же необходимо просто учесть возможность трехмерного переноса (см, рис. 12.1):
out = — dS dS ^ d\ v ¦ n/oUt (г, V, t),
v-n<0
ща= j>dS J dv v • п/!л (r, v, 0- (12.5)
д2 v-n>0
Требование макроскопической однородности, а также соображения относительно условий применимости локального описания, изложенные в разд. 11.7, позволяют выразить / в виде
