Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Собственные значения этой матрицы равны и, = (3 — «2 — 1-(2>, + 2У,
= р - аг - 1 - (5>, + ®э) ± л/Л*, где
А/=[р-ая- 1 -(ф + &2)]2- Н9>\8>1-№>\ + ^+а20,+а2).
(12.35)
Уравнение момента второго порядка допускает неустойчивое стационарное решение. Отклонения от этого решения имеют неосцилляторнын характер, если один из корней и+, ш, обращается в нуль. Это происходит при следующих условиях, аналогичных встречавшимся в разд. 7.4:
Р>Р,= 1 + 02.36)
(12.34)
Р<р7=1+аа + ®і + ®г- (12.37)
338
Глава 12
Рис. 12.3. Зависимость длины когерентности флуктуации в критической точке от химического параметра р в три молекулярной модели. а = 2, О,/О3=0,2. Как следует из анализа с использованием детерминистических уравнений, эти значения параметров соответствуют возникновению стационарных диссипа-тивных структур.
Вводя при помощи соотношения (12.12) длину когерентности I, имеем
3>^~р-, ®2^р-. (12.38)
"г, 11 п
!
Теперь можно записать:
„ ПЛТ О. аЧ1г
рс=1+а2+^-г--^. (12.396)
На рис. 12,3 показаны критические кривые 1С~1С($), описываемые соотношениями (12.39а) и (12.396) в плоскости {I, р)
приа = 2и ОЛп = ^(0?11г,).
Важная особенность этого результата состоит в том, что э области р)! < р < р^ неустойчивость стандартного состояния реализуется при наличии флуктуации с конечной длиной когерентности. В этой же области наложение крупномасштабных флуктуации (;-*оо) стабилизирует стационарное состояние. Однако
выше р = Р^, т. е. над асимптотой кривой р = рс, ситуация становится аналогична рассмотренной в разд. 12.4. Напротив, параметр упорядоченности вепет себя совершенно так же, как и в случае предельного цикла. В самом деле, как было показано
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
339
в рал д. 7.6 и 7.7, амплитуда дцссипативной структуры, возникающей выше точки первой неустойчивости при р*?, изменяется следующим образом:
11*11 ос (?-?J)'A. (12.40)
Наличие конечной длины когерентности и непрерывного параметра упорядоченности представляется на первый взгляд парадоксальным и труднообъяснимым в рамках привычных представлений о равновесных критических явлениях. Однако при более внимательном рассмотрении обнаруживается наличие второй характерной длины когерентности*), которая расходится по мере приближения к критической точке ?° снизу. В этом отношении рассматриваемая задача близка к задаче о кристаллизации [51], а которой упорядоченная фаза характеризуется конечной длиной (параметр решетки), тогда как в неупорядоченной фазе имеются длинноволновые корреляции вплоть до точки отвердевания.
Чтобы убедиться в том, что и в рассматриваемой задаче имеется вторая характерная длина, мы поступим так же, как в конце разд. 11.10. Представим условие нейтральной устойчивости (12.39а) в эквивалентной форме:
^B, + (l + a^_?)l + |.^0, (12.41)
где
a, = yJ_, В2 = ^. - (12.42)
Г, 'i
На основании результатов гл. 11 можно предполагать, что величина I служит естественной единицей измерения пространственной координаты Г2—ги фигурирующей в корреляционной функции G(iV[, uVj), которая описывает связь между двумя различными пространственными областями**):
G(&VU -ДКа)=с?(^=р-). (12.43)
Если \/I действительно, то функция G описывает самоподдерживающуюся корреляцию макроскопического размера между пространственными областями. Напротив, комплексные значения \Ц подразумевают наличие пространственного затухания в виде быстро исчезающих волн, исходящих из подсистемы с объемом
*) Аналогичное замечание к задаче Бенара сделали Зайцев и Шлёмис [424J (см. также [232]).
**) Здесь обозначения изменены по сравнению с гл. П. Так, в разд. 11.10 величина I представляла размер системы, которая в данной главе считается бесконечной. Длина когерентное™ теперь обозначена как I (A — в разд. 11.10J.
340
Глава 12
ДУ. Существенно, что уравнение (12.41) приводит к комплексным значениям / в области «неупорядоченности», р < р". При помощи таких же преобразований, как в разд. 11.10, находим
]- = ~±1уг, (12.44)
где
Г = -!етО+а21Г-е)' <12'45а>
' ^Мр-р^Р-Р-)''1 (12.456)
I"
&° = 0 + «л/1г)''
(12.46)
Если р расположено немного ниже критического значения, то
р_<р<р° (12.47)
и Г становится действительным числом. По мере приближения к критической точке р? длина I" расходится как [см. также уравнения (11.80) и (11.81)]
(р - р-)'/г
/" = (; \'\ | р - р? р, (12.48)
т. е. в соответствии с «классическим показателем" степени» '/?, совпадающим с показателем степени в формуле для параметра упорядоченности (12.40). Таким образом, исходящие из области ДУ волны теперь уже не затухают, а приводят к длительно существующему режиму, характеризуемому длиной Г. Простые вычисления, проведенные в разд. 11.10, показывают, что в критической точке /' совпадает с & (см. рис. 12.3).
12.6. переходы между множественными
стационарными состояниями и метастабильность
Основные идеи мы проиллюстрируем на простой модели. Рассмотрим элемент поверхности решетки, содержащий Л' связывающих центров. Пусть система находится в контакте с резервуаром, содержащим вещество Хе в постоянной концентрации. Считается, что Хе может соединяться со свободным центром и адсорбироваться решеткой. Соответствующую поверхностную концентрацию обозначим через X. Вещество X в результате десорбции может снова превращаться в Хв- Схематически эти
