Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
При этом в выражении (11.70а) имеется два одинаковых по порядку члена:
mftx, = у Ч <*>" Ч1- № X / + / X Г)"' }. (11.72)
Этот результат был получен ранее на основе формализма процессов рождения — гибели, когда система предполагается сосредоточенной в одной ячейке и диффузией можно пренебречь.
316
Глава 11
В противоположном предельном случае, когда происходит очень быстрая диффузия, пространственная корреляция (11.706) становится еще меньше по сравнению с пуассоновским слагаемым, поскольку она обратно пропорциональна коэффициенту диффузии. Из этого обсуждения следует несколько неожиданный вывод, согласно которому описания в терминах процессов рождения— гибели и в формализме фазового пространства соответствуют двум различным предельным случаям одной задачи.
11.10. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Изучим поведение корреляционной функции Охх{Г\, г2) по мере приближения системы к состоянию нейтральной устойчивости, соответствующему возникновению стационарной пространственной структуры или периодического решения. В обоих случаях будем считать, что критическая точка достигается снизу. Это позволяет принять макроскопические значения концентраций, соответствующие однородному пространственному решению (11.34).
В гл. 7 переход к диссипативтюй структуре для тримолеку-лярной модели анализировался в рамках макроскопического описания. Как и в начале разд. 11.9, здесь мы лишь кратко обсудим особенности описания в терминах дискретного набора ячеек.
Прежде всего напомним, что для линейных систем устойчивость определяется знаком действительных частей собственных значений оператора в уравнениях эволюции. Для тримолеку-лярной модели и непрерывных систем этот оператор Ь задается уравнением (7.20); его свойства подробно обсуждаются в разд. 7.4. В дискретном представлении соответствующий оператор Л* определяется соотношением (11.54) или, точнее.
где кк дается соотношением (11.536). Собственные значения со,, (|>й этой матрицы можно найти в явном виде, Причем получающиеся выражения аналогичны (7.28). Из выражения (11.63) для величины фигурирующей в корреляционной функции, инте-
рес представляют лишь сумма и произведение этих корней- Непосредственными вычислениями находим:
+ Щ. = След Ль = В — ] — А2 — кк {й\ + <*2),
(11.73)
ю*, ©а, = Детерминант Л4 =
(1 + М) (-4 +>•*<*?) — 'ккВйг.
(11.74)
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
317
Рис. 11.4. Кривне нейтральной устойчивости для триуолскуляр-ной модели, представленной в виде дискретного набора ячеек. Значение В^ соответствует возникновению пространственной структуры, а значение *- возникновению колебаний.
*¦»
Из макроскопических уравнений эволюции в дискретном представлении системы в виде 1, ..., п ячеек следует, что неустойчивость возникает при обращении суммы или произведения корней в нуль. С учетом (11-74) при фиксированных Л, й\, ?2 условие отсутствия устойчивости можно выразить через параметр В в виде
В > I + Л2+ М1 + -Л- =Вк, (11.75а)
в случае бифуркации стационарной структуры и как
В>1 + Ла + а.4(<*1+<Щ = Йк ' (11.756)
в случае бифуркации периодической структуры. Эти соотношения представлены графически на рис. 11.4, эквивалентном рис. 7-1 и 7'2, соответствующим непрерывному описанию.
В частном случае соотношения (11.75а) рис. 11.4 показывает, что для возникновения стационарной пространственной структуры в результате неустойчивости необходимо, чтобы величина Вц превышала минимум кривой нейтральной устойчивости. Значения к/1 и Вь, соответствующие этому минимуму, определяются выражениями, аналогичными (7.35):
Отметим, что графики на рис. 11.4 сделаны в предположении, что минимум Вь расположен ниже минимума Вь. Это предположение справедливо, если выполняется соотношение, аналогичное (7-36):
(11.76)
318
Глава 11
в=4,0
Рис. 11.5. Зависимость формфактора °т волнового числа н тримолекулярної! модели при (4 = 2, di = 1, dj = 4.
Из этого условия следует также, что при возрастании В переход к стационарной диссипативпой структуре происходит раньше перехода к периодическому решению.
Рассмотрим теперь корреляционную функцию Прежде всего проанализируем зависимость коэффициента 9?ь1<% от к в тригонометрическом представлении йц . Величина играет роль «форм-фактора», и она была бы идентична фурье-преобра-зованию корреляционной функции, если бы рассматривалась бесконечная система [2161. Подставляя явные выражения (11-74) — (11.77) в определения 3:'** и Ж, приведенные в разд. 11.9, в случае дискретной системы находим
А* в) +
Tili
¦A4, +(Л2+ \ —B)da — A2d{ — d2
- A4, - d2^ Bd2 j
+
2/dl + d,d2 -d,d2
2)]х
X i? - l - Л2 - + 4)П'X
XiA2 +lk(A2dy~(B - l)d3) + UdidaY\ (11.78)
Из выражений (11.78) и (! 1 _75) следует, что форм-фактор^Т*1^ имеет максимум, который становится все более резким по мере
Фазовое пространство а многомерное фундаментальное уравнение
319
приближения параметра В к значению Вс. При В = Вс форм-фактор обращается в бесконечность. Поэтому в соответствии с выражением для Бц (11.676), можно сделать вывод, что радиус корреляции возрастает по мере приближения к критическому состоянию. На рис. 11.5 показаны кривые, изображающие форм-фактор для системы из 100 ячеек и разных значений В, в том числе в состоянии нейтральной устойчивости.
