Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
S29
где
Тогда выражение (12.4) сводится к следующему: Fav.v-&v = Yi l- {Xy"L+Ay §dS \ ^v-rr/wX
X0ut К д2 vn<0
XP{Xla-l,Xoat+l,t)+^^§dS 5 rfw-n^X
XP№U+ 1, Xoui— 1, 0 — Обратные члены). (12.8)
В правой части этого равенства мы использовали представление
P{Xin, Xoui, t) = Psv(X-,a, t)pV-±v(Xoai,t) + G(Xin, Xoat, t), (12.9)
где G — корреляционная функция между AV и V — AV- В соответствии с разд. 11.9 в общем случае G не обращается в нуль. Роль корреляций по сравнению с процессами, протекающими внутри AV, зависит как от размера ячейки, так н от скоростей диффузии н химических процессов. Предположим, что вклад G остается небольшим, т. е. что AV и V — AV статистически независимы. Необходимо отметить, что это допущение справедливо лишь в том случае, когда отношение AV/V достаточно мало и радиус корреляций достаточно мал. В частности, в пределе при AV/V^>0 независимость является строгим следствием фундаментального уравнения в фазовом пространстве. С другой стороны, как только AV становится сравнимым с у, предположение о независимости становится неприемлемым (см. также [116]).
Имея в виду эти обстоятельства и учитывая соотношения (12.7) ц (12.8), из (12.3) можно получить замкнутое уравнение [242. 331]:
dPAVJtX' " = Rav (X) + 3>(X) \Рм-(X - 1, t) - Рд,-(X, 01 +
+ ® [(Х+ 1)Pav(X+ IJ)-XPav(X, OL (12-10)
Здесь подстрочный индекс in при X опущен и введен коэффициент
® = AF§d5 [ dvv.n#(v, 0, (12.11)
Д? v-n>0
который следует сравнить с коэффициентом, введенным в разд. Ц.7 [см. равенство (11.296)], и который играет роль «эффективной диффузионной частоты» перехода частиц через поверхность А2. Использованное при вычислении вероятностей
830
Глава 12
перехода распределение foat описывает движение частиц в направлении к AV из слоя толщиной I, (толщина слоя по порядку величины равна средней длине свободного пробега частиц X в реакционной среде [60]). Это становится еще более очевидным, если рассчитать коэффициент (12.11 ) с применением максвеллов-ской функции Ф. При этом получаем [см. соотношение (11.29в)1
__(?2 12)
где / — характерная длина области AV. Как отмечалось в разд. 12.1, эта величина представляет размер, или длину когерентности флуктуации.
Уравнение (12.10) представляет обобщение описания в терминах процессов рождения — гибели. Этому уравнению присущи качественные черты более полной теории, обсуждавшейся в гл. И, и в то же время оно свободно от сложностей многомерного фундаментального уравнения.
12.3. свойства нелинейного
фундаментального уравнения и уравнения моментов
Наиболее характерной особенностью фундаментального уравнения (12.10) является его нелинейность, обусловленная множителем (X) в правой части. Нелинейность обусловлена переходом от общего описания к локальному. В этом смысле происхождение нелинейности такое же, как и в кинетических уравнениях статистической механики, например в уравнениях Больцмана( или Власова [20]. По этой причине, говоря о нелинейном фундаментальном уравнении при описании флуктуации, мы будем использовать термин приближение среднего поля.
Другое объяснение нелинейности основано на том, что внешнее окружение Л У учитывается путем усреднения, причем макроскопическое условие однородности (12.7) связывает это среднее со средним по малой подсистеме. Как будет показано ниже, именно «конкуренция» между подсистемой ц внешним окружением ответственна за развитие флуктуации, приводящее к неус-тойчивостям. Следует отметить сходство между этим описанием и теорией транспортных перевозок Пригожина — Германа [323].
Безотносительно к физическому содержанию представляет интерес дать более подробную характеристику типу случайных процессов,описываемому фундаментальным уравнением (12.10), Согласно классификации Мак-Кина [253], это уравнение относится к классу «нелинейных марковских процессов». Хотя процесс и остается марковским, он, безусловно,не является стационарным. В самом деле,одна из вероятностей перехода теперь за-
Описание флуктуации в приближении «среднего поля."
331
висит от среднего значения <Х>, которое явным образом зависит от времени.
Последний вопрос, который нам хотелось бы обсудить в данном разделе, относится к уравнениям моментов, построенных на основе нелинейного фундаментального уравнения. Умножая обе части уравнения (12.10) на X и суммируя по всем X, в обозначениях разд. 10.4 получим
= (а1Х) + 0 <Х) ? X [РД,(Х - 1, 0 - Р{X, I)} +
+ 3> ?[Х(Х + 1)Рм(Х+ 1.0- Х'Р&у(Х,1)].
х=о
Выполняя в суммах по X уже известную замену переменных, находим
¦ = (а1Х)Ау + ®(Х}-® ? ХРм{Х,Ц
или
& =(Диг)ду (12.13)
Таким образом, уравнение первого момента не содержит величины 0, что согласуется с требованием макроскопической однородности.
Чтобы получить уравнение второго момента, умножим обе части фундаментального уравнения на X2 и просуммируем по всем значениям X. Такие же преобразования, что и выше, приводят к уравнению
= <Ь*)*у + <Хач)ьу ~ 2® - (12.И)
где (оХ2)Л(Л — среднеквадратичное отклонение. Иы видим, что диффузия явным образом входит в эволюцию флуктуации, влияя на отклонение распределения вероятностей от пуассоновского. В пределе при ?39 -* оо диффузионный член в уравнении (12.14) становится основным. При этом система переходит в стационарное состояние, характеризуемое пуассоновской дисперсией, поскольку (ЬХг)м. = (Х)Д[.. Этот вывод качественно согласуется с результатами гл. 11. Однако при описании флуктуации с использованием многомерного уравнения (11.43) приближение дисперсий Мц к стационарному состоянию в общем случае не сводится к простому экспоненциальному процессу, поскольку оператор Кцы в правой части этого уравнения имеет конечно-разнося-
