Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 101

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 171 >> Следующая

fdMxх \
{-^Г1 j, = d> Е Р &Х*Х' (Х< - d ~ 2х*х> +
4 ''How ^-г1
¦V;
+ (Xt+l)Xl + tX, + XlXt + 1X, + (Xt+l)Xl^Xl + + XtX[_iXj — 2XiXjXi+l — 2XiXi_tXj -f-4- Симметричные члены} —
или, с учетом (11.43), / dMx у \
= dt {(Х,Х1+,) + <ВД_,> - 2 (ВД) +
V dt /flow
+ (Х,Х,+ 1) + (ХД;.,) - 2 (Х,Х,) - (X,) (Хш)-~ <Xi> ~ 2 w (Xj) - (X,) {Хш) -
-w <*,-.>-2 №><*/>} =
= di {Xr,.. х/+1 + *Ч - 2/Vf*^ +
+ м*г + MV,-, - 2^.^}, (11.47)
если только ячейки /, / не являются соседними. В пределе непрерывной системы это выражение приводится к виду, аналогичному закону Фика и отличающемуся от макроскопического закона (11.44) множителем 2. Отметим, что полученный результат не содержит приближений, связанных с дисперсиями более высоких порядков, которые обусловлены только членами, соответствующими реакциям.
Уравнения для дисперсий
С учетом результатов, полученных выше, систему уравнений для дисперсий можно записать в следующем компактном виде (подробно см. [233]):
¦ЦгЩ-Ец + ^КцыМы ('". /=1> •••> «)• (11-48)
ы
310
Глава II
Здесь матрица дисперсий определяется путем очевидного обобщения матрицы М (11.36);
" \Му.х. MY?Y? ) '
В уравнении (Ц.48) Ец и Кцы относятся соответственно к матрице 2X2 той же структуры, что и Г, Г или S, и к тензору (2)<2)Х(2Х2) с такой же структурой, что и С. Отличие от матриц Т и С, определенных соотношениями (11.38) и (11.39), связано с диффузионными членами. При постоянных граничных условиях можно получить более конкретные соотношения [233]:
1. Ненулевые элементы матрицы Е равны
, ??i = y + 4AS, где А—матрица коэффициентов d?:
Но J- <п-50б>
2. Ненулевые элементы матрицы t\ имеют вид
K„,(/ = C-2(AX/ + /XA), W/.i/ = *«.i+i./ = aX'. (11.51)
Отметим, что эти свойства матрицы f( Придают вкладу в (11.48), обусловленному переносом вещества, известную структуру, возникающую в диффузионном уравнении Фика, в соответствии с замечаниями, сделанными в предыдущем подразделе.
11.9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В ТРИМОЛЕКУЛЯРНОИ МОДЕЛИ
Соотношение (11.48) представляет систему линейных уравнений, которая может быть непосредственно решена. Для этого необходимо найти собственные функции и собственные значения оператора К (аналогичные вопросы рассматриваются в гл. 7), который^ как мы только что отметили, имеет структуру диффузионного оператора в конечно-разностном представлении.
Рассмотрим сначала оператор L, такой, что
i-i/-//+i + f/-|-2f/. (П-52)
Пусть —\, — соответствующие собственные функции и собственные значения:
Luf = -Xkuf. (11.53а)
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
311
Зафиксируем концентрации на границах и будем искать решения в виде
ц(*> = с sin
С учетом определения (11.52) находим
Luf = с {sin (/ + I)] + sin [pft (/ - 1)] - 2 sin ((V)} =
= 2c[cospft sin (pkj) — sin (fy')] = 2(cos — I)uf>.
Таким образом, равенство (11,53a) удовлетворяется. Чтобы выполнялись также граничные условия, необходимо принять u.? = = [kn/n -4- 1). Отсюда можно заключить, что
Я, = 2 (1 - cos 77^г) > 0. (П.536)
Если вместо L используется оператор с матричной структурой, обусловленной наличием более одного химического соединения, то оператор, выражающий влияние диффузии на уравнения эволюции, имеет следующий вид (аналогичный случай рассматривался в разд. 7.4);
(Ы* 0 \
а матрица его собственных значений [см. определение (11,506)] определяется соотношением
(d? 0 \
~Чо dJ — **A-
Если, кроме этого, имеется слагаемое Г [см. уравнение (11.406)], обусловленное линеаризованными уравнениями химической кинетики, то матрица собственных значений фигурирующего в правой части дифференциального уравнения оператора имеет вид
ЛА = Г-А,*Д. (11.54)
Теперь можно вернуться к системе (11.48). Чтобы решить ее относительно Мі,, необходимо найти обращение оператора К. структура которого определяется суммой линеаризованного оператора химической кинетики и диффузионного оператора.
Для этого найдем линейный оператор Р, преобразующий уравнение (11.48) к виду
!^ = ^, + ^А. (П-55)
М1} = Т.РцыМ'к1. (П.56)
где
312 Глава 11
где %р — собственное значение [см. равенство (11.536)] диффузионного оператора в конечно-разностном представлении. При фиксированных р и q соотношение (11.57) можно записать в виде
{(1 - ort) Рг_,.,.„ + - 2 + ort + or.n+i) Я«и + + (l-or,n+I)Pf+I,s.pJAX/ + + {(1 - 6s0) Pr. РЯ + (Л, - 2 + 6,0 + 0,. B+I) Prspq+ + (1 - n+i) P,.s+1, „} / X Д = 0, (11,59)
Заключенная внутри каждой пары скобок операция идентична конечно-разностной операции (11.52) и относится к индексам г и s. Поэтому можно найти решения уравнения (11.59) в факто-ризоваппом виде
Р = Р Р
* rspq- ' TP1 sq-
Таким образом, по своей структуре уравнение для Prs аналогично задаче па собственные значения (11.53а). Следовательно, при фиксированных граничных условиях для оператора Р имеем
Prspa = cs\n sin Т+Т • (11.60а)
где с — произвольная постоянная. Элементы обратного оператора Р-1 легко определяются и равны
р^=j2whwrsin ifrsin x+t • о1 -606>
Зная P_l и используя выражение (11.50) для Я, легко вычислить элементы A'ki в уравнении (11.55). Имеем
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed