Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Описание флуктуации в приближении ясредиего поля»
335
Рис. 12.2. Зависимость длины когерентности флуктуации в критической точке от химического параметра р в тримолекулирной модели макроскопически однородной системы. Здес], Ь, сс(р — аг — 1) 1 к ?2 сс{р — аг — 1 + + [<р-а2- |)«-4а*]^р1.
отметим, что переходу к неустойчивости соответствует возникновение предельного цикла с ненулевым радиусом г. Поэтому г можно рассматривать как параметр упорядоченности системы, В соответствии с разд. 7.12 изменение г в зависимости от К определяется соотношениями
'^(р-р^1 при р>ре, (!228
г = 0 при р<ре1
где рс — точка возникновения первой неустойчивости, " являющаяся аналогом критической точки при равновесных фазовых переходах:
рс = а2+Ь (12.29)
Соотношение (12.26) принимает вид
1ссс (р-рс)"'. (12,30)
Таким образом, мы установили критические показатели степени '/г Для параметра упорядоченности и —1 для величины [с, играющей роль радиуса корреляции в теории. Соответствующие показатели степени в любой теории равновесных критических явлений, основанной на идеях Ландау, составляющих фундамент самосогласованной теории критических явлений, равны соответственно '/г и ¦—'/а. Таким образом, несмотря на то что фундаментальное уравнение (12.10) записано в приближении самосогласованного поля, в теории возникает «неклассический» показатель степени (—1). Из (12.12) следует, что такое неклассическое поведение обусловлено наличием длины релаксации в
336
Глава 12
уравнении, связывающем 3> и I. В свою очередь это обусловлено неравновесным характером явления, Приводящего к возникновению в теории возбуждений типа звуковых волн, скорость которых связана со средней длиной свободного пробега Ь, занимающей промежуточное положение между короткими длинами волн порядка атомных размеров и макроскопическими длинами, связанными с длиной когерентности флуктуации. Полезно иметь в виду аналогию между этой картиной и идеями, лежащими в основе теории Уплсона [411] равновесных фазовых переходов. В работах [286] и [214] также отмечалась аналогия между химическими неустойчивостямц и фазовыми переходами.
Учитывая эти соображения, можно следующим образом интерпретировать схему, изображенную на рис, 12.2, Допустим, что флуктуация возникает в окрестности точки, расположенной внутри подсистемы с объемом ЛУ. Если область этой флуктуации, т. е. длина, на которой она сохраняет когерентный характер, принадлежит заштрихованной области на рисунке, то процессы распада такой локальной флуктуации, по порядку определяемой величиной преобладают над механизмами усиления п флуктуация затухает. При К < а2 4- I флуктуация затухает даже в том случае, когда сначала длина когерентности была бесконечной. Однако при К > а2 -\- 1 те возмущения, размер которых [превышает 1С, усиливаются и распространяются па всю систему. В то Же время для флуктуации с 1</с система остается устойчивой. Таким образом, даже в надкритической области диффузия играет стабилизирующую роль для Определенных флуктуации. При В > {я-\- \ )2 размер затухающих флуктуации быстро уменьшается и, наконец, в далекой неустойчивой области, т- е. при К а.2 + |, имеем 1С -*¦ 0, и система спонтанно уходит из стандартного состояния. Эта картина напоминает явление образования зародышей в теории равновесных фазовых переходов [425].
В заключение сделаем некоторые замечания, относящиеся к флуктуациям концентраций внутри малой подсистемы с объемом ДУ. Прежде всего, из (12.18) следует, что в окрестности критической точки дисперсии расходятся, поскольку в этой точке собственное значение матрицы коэффициентов обращается в пуль. Таким образом,
(ЬХ2)сс-±~. (|2.3|)
Аналогичное соотношение можно записать для (6У2) и т. д. Рис. 12.2 показывает, что в Критической точке /с-*-0, т. е. 3>-*ол поэтому
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
337
Критический показатель степени, характеризующий порядок расходимости <6Х2>, равен удвоенному значению критического показателя, отражающего характер изменения параметра упорядоченности в надкритической области. Это соотношение аналогично известным соотношениям в теории равновесных фазовых переходов.
12.5. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ДИССНПАТИВНОЙ структуры
Рассмотрим случай, когда вещества X и У в тримолекуляр-ной модели характеризуются двумя разными коэффициентами 3>\ и 02- Как Отмечалось в разд. 12.4, соответствующие макроскопические уравнения баланса допускают решения в виде пространственных регулярных структур. Здесь мы попытаемся выяснить, каким образом возникает такое решение за счет флуктуации, если исходная система была однородна, а ее состояние было стационарным [см. соотношения (12.24)].
Следуя той же процедуре, что и в разд. 12.4, а Также обрывая систему зацепляющихся уравнений моментов на втором порядке, получим для среднеквадратичных флуктуации систему дифференциальных уравнений такого же вида, как и (12.18). Отличие состоит в том, что теперь матрица коэффициентов определяется следующим образом:
/2(р — 1} —22>! 2а2 0 \
[ -р В-а2-1-®,-®2 аг . (12.33)
V 0 -2р -2аг-2®2/
