Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящее время машинные эксперименты направлены на исследование флуктуации в окрестности точки потери устойчивости. Некоторые результаты такого рода исследований уже опубликованы [299[.
11.6. ОБСУЖДЕНИЕ
Из разд. 11.4 следует, что результат (11.2В), подобный формуле Эйнштейна и относящийся к малым флуктуациям, имеет довольно обший характер и по существу не зависит от деталей
298
Глава 11
механизма химической реакции. Это можно непосредственно проверить даже в случае систем, не обладающих асимптотической устойчивостью, например, для модели Лотка — Водьтер-ра *) или тримолекулярной модели [271, 277]. Поэтому в окрестности точки нейтральной устойчивости поведение системы не может определяться механизмом малыхлокальных флуктуации.
С другой стороны, экспериментально обнаружены системы со спонтанными неустойчивостями, приводящими к диссипатив-ным структурам, В этих системах поведение определенных флуктуации имеет аномальный характер, аналогично флуктуациям, описанным в разд. 10.6 в формализме процессов рождения — гибели. Из разд. П.З следует, что танце флуктуации должны быть крупномасштабными (более точно это понятие будет определено ниже), г_е_ отражать лишь среднее состояние системы. Эти флуктуации могут усиливаться, если состояние системы близко к точке нейтральной устойчивости.
Можно заключить, что возникновение явлений самоорганизации подразумевает существование элементарных объемов внутри системы, размеры которых значительно превышают характерные молекулярные размеры, но малы по сравнению с полным объемом системы. При этом поведение флуктуации во всем объеме носит когерентный характер, так что флуктуации, складываясь, возрастают до значительных размеров и в дальнейшем изменяют макроскопическую систему.
Переход от режима тепловых флуктуации к такому макроскопическому когерентному состоянию можно рассматривать как новое, специфически неравновесное явление образования зародышей. Вообще говоря, это явление можно описать, если решить фундаментальные уравнения в фазовом пространстве для конечных флуктуации. Методом молекулярной динамики также можно найти критические размеры системы, характеризуемой когерентным поведением.
Однако ввиду сложности описания системы в ее фазовом пространстве мы будем искать условия, при которых уравнения
*) Напомним, что. в соответствии с разд. 8.2 в модели Лотка — Воль-терра пеличина (6г5)о связана с интегралом движения Т или, точнее, с его разложением при малых отклонениях от стационарного состояния. Таким образом, уравнение (10.25) принимает вид
РссехрфГ), (11.25а)
где р — параметр. В этом пределе полученный нами резу-тьтат согласуется со статистическим анализом Кернера [199. 200], основанным на выводе vpaв-нения типа уравнения Лиувилля для консервативно]"! системы, описываемой большим, но четным числом перемевных. Для конечных флуктуации результаты Кернера [199, 200] качественно отличаются от полученных на основе стохастических фундаментальных уравнений. Критический обзор подхода Кернера мо?кно найти в работах Николиса [277] и Мэя [251]-
Фазовое пространство и многомерное фундаментальное уравнение
299
в фазовом пространстве можно свести к более простым уравнениям, содержащим лишь переменные, непосредственно доступные макроскопическим измерениям. Это позволит оценить размеры области, допускающей когерентное поведение, а также связать их с параметрами системы.
11.7. СВЕДЕНИЕ К МНОГОМЕРНОМУ ФУНДАМЕНТАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ КОНЦЕНТРАЦИИ
Макроскопическую систему всегда можно рассматривать как совокупность ячеек, соединенных между собой за счет переноса энергии и вещества. Обозначим через X характерный размер каждой ячейки и допустим, что перенос осуществляется вдоль одного пространственного направления. Мы хотим построить такое описание, в котором в качестве переменных рассматриваются числа частиц в различных ячейках независимо от и.х импульсов н внутренних состояний. Такой подход является промежуточным между формализмом процессов рождения — гибели, согласно которому все ячейки сосредоточены в одну, и фазовым описанием, в котором ячейки имеют микроскопические размеры. Введем для величины X следующие ограничения:
Число частиц в каждой ячейке значительно превышает единицу; следовательно, по порядку величины X по крайней мере равно I, = ctr, где с — тепловая скорость и tr — время релаксации системы. В дальнейшем изложении расстояние U мы будем называть средней длиной свободного пробега.
Макроскопические неоднородности, которые могут иметь место в системе, не могут проявляться в отдельных ячейках. Отсюда следует, что X tCf,c, где гси — временной интервал между двумя последовательными неупругими соударениями. Это позволит в дальнейшем перейти к пределу непрерывных в макроскопическом смысле систем, даже если X не обращается в нуль строго. Объединяя эти условия, мы видим, что построить нужное описание невозможно, если нарушается условие /сь 3> tr. К этому случаю относятся все химические реакции, рассматриваемые на основе макроскопических уравнений баланса в этой книге.
