Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Увеличение радиуса корреляций подтверждается также непосредственным анализом корреляционной функции Б?* в критической области. Численные расчеты по уравнению (11.676) для 100 ячеек приводят к результатам, показанным на рис. 11.6а, П.бб и 11-7. Если В заведомо ниже критического значения, то корреляции максимальны при ?=/ и затем резко уменьшаются на малых расстояниях. По мере увеличения В возникают осцилляции корреляционной функции, хотя и быстро затухающие. Наконец, в непосредственной окрестности критической точки осцилляции затухают линейным образом, как показано на рис. 11.7.
В случае непрерывной системы корреляционную функцию можно также вычислить аналитически [см. (11.70)]. Согласно
500
10
10s
о -
a=j,3
о
20
J
Рис. 11.6а. Зависимость пространственной корреляционной функции Gxx (/=1) от расстояния между клетками в заведомо под-крнтнческой области. Значения Л, d, и d2 такие же, как и в случае рис. U.5.
Рис. 11.66. По мере приближения параметра бифуркации к критическому значению область нснуле- ¦ внх значений немного увели-
чивается по сравнению со случаем, изображенным на рис. 11.6а.
а»
Глйва И
10«
5-103
Кршпачвскае состояние В * і
50
100 ;
Ркс. П.7. Критическое поведение пространственной корреляционной функции при таких же значениях параметров, как и в случае рис. П.6а, Вид функции Охх указывает па наличие линейного затухания пространственных коле-
баний с длиной концентраций.
волны, соответствующей макроскопическому распределению
выражению (11.706), функция С(п, г2) представляется тригонометрическим рядом, коэффициенты которого являются рациональными функциями к2, которые могут быть разложены на простые слагаемые вида Н/к2~\-К*, где К в общем случае — комплексное число, причем возникающие ряды легко суммируются. Эти вычисления не Представляют трудностей, и для лХ-компопенты 0(г|, г2) получаем [233[
(11.79)
Фановое пространство и многомерное фундаментальное уравнение 321
к2 =
4яаО,
где 0*гх— слагаемое, соответствующее малым расстояниям, а Оь-*—большим. Фиксируя г\ и выписывая лишь зависимость от га, второе слагаемое можно представить в виде
+ Ь{К)Кя( \ _^)сов/Ся(1 -^-) + с(К), (11.80)
где коэффициенты а, Ь, с зависят от К, а также ог А, В и коэффициентов диффузии О, и 02. В критическом состоянии волновое число К определяется выражением
[рс-0-°л/5)1- (и-8!)
Здесь а и р—концентрации А и В, связанные с соответствующими числами частиц соотношениями к = Л/Й, Ь = В/И, где ? — размер каждой ячейки [см. (11.64)]. Учитывая приближенное выражение для р\ (11.76), находим
1^ = —-^-гг-Е^. (11.82)
Сравнивая это выражение с результатами макроскопического анализа тримолекулярной модели (см. разд. 7.4), в частности с равенством (7.35), можно прийти к выводу, что длина волны корреляции совпадает с длиной волны макроскопического распределения концентрации.
Если система находится несколько ниже критического состояния, то К имеет мнимую часть, описывающую слабое экспоненциальное затухание корреляций. В этом случае можно записать
*-^-<'-^еТ-<[('^0-"П-
= К' + 1К". (1.1,83)
В критическом состоянии из выражения (11.80) следует линейное затухание корреляций, выражаемое множителем ^(1 — — (г^/о) перед косинусом, что согласуется с результатами численного анализа, представленными на рис. 11.7.
Полученные результаты [равенства ((1.80) — (11.83)} можно рассматривать также с другой точки зрения, часто принимаемой при анализе равновесных критических явлений [367, 409]. Прежде всего можно заметить, что в окрестности критической точки все пространственные координаты в длинноволновой части корреляционной функции фигурируют вместе с сомножите-
11 Зак, 1286
322 Глава II
11.11. заключительные замечания
В данной главе мы показали, что в исходно однородной неравновесной системе, находящейся вблизи критической точки потери устойчивости, но еще нс перешедшей через эту точку, возникают длинноволновые корреляции макроскопических флуктуации, придающие системе явно пепуассоновский характер. Таким образом, в данном случае происходит нарушение законов больших чисел, устанавливаемых в теории вероятности. Такое
л ем К/1- Согласно (11.83), по мере приближения b к пороговому значению Ьс этот сомножитель, или, что то же самое, эквивалентные длины
Я' = —, Г' = — сх-i—- (11.84)
К' К" \ь~ьс \" ¦ '
становится внутренним параметром системы, не зависящим от размера системы, размера ячеек Q, граничных условий и микроскопических параметров атомного масштаба. При b-*-bc этн длины ведут себя следующим образом:
Я ~~ ~К ~~ *7 ~~ %С (11.85)
И >/'—> оо;
где Яс — длина волны макроскопического распределения концентрации. Следовательно, при фиксированном Г\ корреляционную функцию (11.80) можно записать в виде
Of/ ra) = ffl (¦?-) gn (jf) + const. (11.86)
Это соотношение напоминает известную из теории равновесных фазовых переходов масштабную гипотезу. По существу мы продемонстрировали на модели Закон изменения размеров коррелированных областей вблизи неравновесного стационарного состояния, а также определили два внутренних параметра с размерностью длины, которые можно назвать длинами корреляции.
