Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Глива 12
ную структуру. Напротив, благодаря диффузионному вкладу в уравнение для среднеквадратичных отклонений внутри объема АУ [ем. уравнение (12.14)] процесс релаксации стремится к простой временной экспоненте [Г 16].
12.4. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА
Рассмотрим возникновение неусгойчивостей и Проанализируем нелинейное фундаментальное уравнение для простой системы, приводящей к диссипативньщ структурам. Мы снова используем тримолекулярную модель, критические свойства которой проанализированы в разд. 11.10 при помощи многомерного фундаментального уравнения. Здесь наша задача заключается в том, чтобы обсудить возникновение предельных циклов, а случай стационарных, но пространственно-зависимых структур будет рассмотрен в разд. 12.5-
Как было показано в разд. 7.4—7.14, Природа первого ответвляющегося от термодинамической ветви решения зависит от коэффициентов диффузии 0\ и 02, а также от граничных условий. В частности, в отсутствие потоков на границах или При периодических граничных условиях в результате первой бифуркации всегда возникает Предельный цикл, если 0: = 02. Однако, когда ?>1 достаточно мало по сравнению с 02, становится возможным появление неустойчивости с потерей симметрии.
В принципе некоторые из этих свойств могут измениться ПрИ вероятностном рассмотрении, выходящем за пределы макроскопического анализа, изложенного в гл. 7- В дальнейшем, однако, нас будут интересовать асимптотические решения фундаментального уравнения, которые, как отмечалось в гл. 10, удобны для обсуждения ранних стадий развития неустойчивости. Это позволяет оборвать последовательность уравнений моментов, ограничиваясь дисперсиями второго порядка. Тогда в уравнения для дисперсий будут входить такие же характерные длины н времена,как и в уравнения для средних.В свою очередь уравнения для средних дают макроскопические решения, когда Среднее и наиболее вероятное значения близки между собой. Такая ситуация имеет место во всех задачах о «плавных» переходах, т. е. о возникновении упорядоченных решений, для которых характерно обращение амплитуды в нуль по мере приближения к точке бифуркации сверху. Наглядное подтверждение этих Представлений дано в разд. 10.6, где показано, что в модели Лотка — Вольтерра дисперсии изменяются с частотой, удвоенной по сравнению с частотой макроскопического движения, а также в разд. 11.10, где радиус корреляции определялся параметрами макроскопических уравнений эволюции.
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
333
Таким образом, при рассмотрении ранних стадии образования предельного цикла в малой подсистеме с объемом ДК можно положить 0\ = 02. В рамках стохастической теории это предположение имеет вид
а>,=-а>а = Д), (12.15)
где а>, = з>х, з>2 = з>*.
Вид уравнений для дисперсий аналогичен (11.37), однако теперь в соответствии с (12.14) в них должны входить диффузионные члены. При этом удобно перейти к новым переменным:
А а В
а =_гг-. Р = -тп— >
Х ~ N. ¦ У — л'0 '
где М0— число, по порядку близкое к полному числу частиц в ДУ. Кроме того, вместо вектора дисперсий М = ((6Х2), (6Х6У), (с^)) введем вектор Ь = (Ьц, &1г, &2г), выражающий отклонения от пуассоновского режима, как и в (10.30):
&м = -1-[(в;Г*)-<*}],
Ь1Л = ~{ЪХ6У), . (12.17)
Ь22 = ^ [(№)-(?)].
Таким образом, мы получим следующую систему уравнений, которую для краткости можно записать в матричных обозначениях, как и в разд. 11.26 [280]:
(12.18)
где т — безразмерная переменная, соответствующая времени. Очевидно, что свойства этой системы определяются собственными значениями матрицы коэффициентов. Составляя характеристическое уравнение, находим
ач^В— а2 — 1 — 23>,
. . «г (12.19)
=. В — а2 — 1 — 23) ± VМ,
334
Глава 12
где
М = ф — а2'— I — Ш?—А\д?-\- {&+ I — $)3> =
= (р — а2 — I)2 — 4аг. (12.20)
Уравнение (12.18) имеет стационарные решения, если цц < 0, Кеи± < 0. Это возможно в следующих случаях:
1) если при любом 3> справедливы неравенства
0<р<аа+1; (12.21)
2) при
3>> Р~~ ' , сели а2+ 1 <р<(а+I)2; ((2.22)
3) при
я>р-.а^1+У№-^.1У-4?» если р>(к+1)2. (12.23)
В этих областях изменения параметров локальные флуктуации не возрастают. Таким образом, стандартное состояние
(х)^а !»-| (12.24)
Остается невозмущенным в течение макроскопического периода времени.
Теперь можно объединить эти соотношения с (12.12), связывая 0 с длиной когерентности флуктуации. Определим критическую длину 1С следующим образом:
Ъ-^яГ- °2-25)
где 3)с определено соотношениями (12.22) и (12.23) при выполнении знака равенства. На рис. 12.2 показано соотношение между /с и химическим параметром (3 в выражении для 2ЬС- Кривая и — 'с(р) имеет асимптоту при р = а? + 1- При р = — (я4-1)а обе ветви Ц и 1.2. определяемые соответственно выражениями
Йй=рё§?п- (12-26)
и
ЛЬ) =_2(Р/^ „ 2 27.
?5 _ а2 - 1 + у(Ц - а2 - I)2 - 4а2 ' к
сливаются и образуют угловую точку, в которой производная справа обращается в бесконечность.
Целесообразно сформулировать полученные результаты в терминах равновесных критических явлений [367]. Прежде всего
