Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Изложенные здесь представления могут оказаться полезными При рассмотрении широкого крута явлений с участием метаста-бильных состояний, таких, как образование трещин в металлах пли реакций, приводящих к взрыву.
12.7. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Познакомившись с методами и идеями теории флуктуации, основанной на приближении среднего поля, вернемся к нелинейному фундаментальному уравнению н проанализируем некоторые общие свойства его решений. Как было показано в разд. 12.4—12.6, найти обшее решение этого уравнения невозможно. Поэтому следует искать приближенные, но систематические способы решения таких уравнений.
Сходство уравнения (12.10) с уравнениями, встречающимися в кинетической теории, наводит на мысль о том, что могут существовать асимптотические решения типа решения Чэпмена — Знскога в случае уравнения Больцмана [60]. Это решение, известное также как нормальное решение, основано на том, что описываемые уравнением Больцмана процессы протекают вдвух временных масштабах, один из которых связан со свободным движением частиц, а другой — со столкновениями. Именно такая ситуация имеет место в случаях нелинейного фундаментального уравнения (12.10) и многомерного фундаментального уравнения, только вклады, обусловленные реакцией и диффузией, как бы поменялись ролями (если сравнивать с вкладами свободного движения частиц п столкновении между ними в уравнении Больцмана). Действительно, в рассматриваемом случае эффективные столкновения приводят к нарушению пуассоновского
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
345
распределения — аналога локального равновесия в кинетической теории, в то время как диффузия стремится восстановить это распределение. Если учесть, что
#лг (X) сх /Гк
и
*сь2)с*-г-> I, 'г
где /сь — характерное время изменения концентрации в результате химической реакции, то в уравнение (12.10) можно ввести безразмерный малый параметр
После этого, полагая т = г/гсь, фундаментальное уравнение можно представить и виде
~~ = Яд* - ~ {(X) [Рдг (Х- 1,1)- Рлу (X, 1)\ +
+ (Х+ 1)Р&(Х+ I, ()-ХРьу(Х, /)}. (12.56)
Изучим вопрос о существовании асимптотических разложений по этому параметру:
Р = р1й)(Х, () + еРш(Х, /)+ ... (12.57)
Здесь и далее подстрочный индекс ДУ опущен. Аналогичное разложение можно рассматривать в случае многомерного фундаментального уравнения.
Как это часто бывает при изучении асимптотических разложений, найти область применимости разложения (12.57) оказывается непросто. В частности, необходимо знать, имеет ли степенной ряд по е конечный радиус сходимости, а если нет, то существует ли асимптотическое (и, следовательно, в общем случае расходящееся) разложение по степеням е и, наконец, может ли вообще е служить в качестве хорошего параметра разложения.
В дальнейшем мы будем рассматривать (12.57) как формальный ряд и попытаемся определить последовательные коэффициенты р<'> из фундаментального уравнения. Подставляя это разложение в (12.56) н учитывая, что к всегда остается конечным и линейно зависит от Р(Х), имеем [177]
с точностью до членов порядка е-1
{Х)^[рт(Х-\,П-Рщ(Х, о] +
+ {Х+1) Рф} (X +1,0- ХРт (X, 0 = 0; (12.58)
34В
Глава 12
с точностью до членов порядка е(0)
^=лИ + {(х)Пр|Ч(х-11 о')] +
+ (Х+1)Р1П(Х+1, Ц-ХР11)(Х, !) +
+ <Л)(,)[Рет(Х- I, 1)-Рт{Х, /)]} и т. д. (12.59)
Здесь мы также воспользовались следующим формальным разложением {X):
{Х) = {Х)т + г{Х)<1) + .... (12.60)
Существенно, что в главном порядке уравнение (12.58) имеет в качестве единственного решения пуассоновское распределение с неопределенным пока средним {X)<°>:
р№=в-*>гоМ^ (1261)
Чтобы вычислить (.Х)(0), перейдем к следующему порядку; для этого умножим обе части (12.59) на X и просуммируем по всем значениям X. В обозначениях разд. ?2.3 находим
Л -№х) .
поскольку диффузионный член обращается в нуль. Кроме того, здесь проводится усреднение по пуассоновскому распределению, поэтому в соответствии с результатами разд. 10.4 правую часть '0| можно приравнять выражению, фигурирующему в макроскопическом кинетическом уравнении:
<г<я-)'0>
- = а1Х({Х),Щ)- (12.62)
Таким образом, величины {Х)(0> и Р<0) определены макроскопическим уравнением эволюции. Здесь можно провести аналогию с кинетической теорией газов, когда параметры, фигурирующие в локальном распределении Максвелла, — температура, плотность и конвективная скорость, определяются уравнениями гидродинамики.
Дальше надо из (12.59) найти Р(|), имея в виду, что как Р<0), так и известны. Имеем;
{Х){(1)1р0) (х -1, о - р'° (х, о!р{1) (Х+1 - 0~ХР11) (X, 0 =
= _ [Р№ (Х-1, 0-Р'°' (X, /)] - Л (Р<°>) + ~ ¦ (12.62а)
Конечно-разностный оператор в правой части всегда может быть обращен. Например, в представлении производящей функции
Описание флуктуации в приближении «среднего поля»
347
это дает простое выражение
др{1> фт/*ц;-Правой части = М(Р<°\ {Х)а)), (12.63)
Й8
где
^"У 0=?5№Р'"(Х, О и т. д.
Таким образом, Т7'11 вычисляется непосредственно, если только можно определить величину Это достигается путем рас-
