Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
примеров, иллюстрирующих наш анализ, выбраны перегруппировки, переходными
состояниями которых, как можно видеть в случае перегруппировки Демьянова,
являются карбокатионы, а также кислотно-катализируемые процессы
изомеризации в полостях цеолитов. Можно показать, что постулирование
любого выбранного механизма нарушает целостный (holistic) характер
непредвзятого описания всей реакции.
Ортомодулярная решетка высказываний, представляющая собой целостное
описание реакции, должна быть редуцирована к булевой подрешетке в
результате постулирования одного из механизмов.
Можно показать, что различные понятия молекулярной структуры
карбокатионов соответствуют введению особых предварительных
предположений, которые вырезают булевы подрешетки из реакционной решетки.
1. ВВЕДЕНИЕ
Успех в использовании химиками теории химических структур воодушевил
многих теоретиков перевести эту теорию на соответствующий математический
язык - теорию графов. Таким образом, были разработаны принципы теоретико-
графовой теории химических структур.
Бинарная структура операций в теоретико-графовой структурной теории
ставит вопрос об алгебре, лежащей в основе этой структуры. Эта проблема
может быть определена в форме вопроса об алгебраической структуре,
позволяющей делать утверждения о протекании химических реакций, а также о
химических терминах, используемых для описания химических процессов.
2. ТОПОЛОГИЯ ПЕРИЦИКЛИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Исследование этого вопроса мы начцем с понятия молекулярного реакционного
графа [1-4], и в частности бинарных отношений, определенных для этого
графа, т. е. объединения (J , пересечения
446
П. Плят, Е. Хасс
П и теоретико-множественной разности 'е множеств ребер двух
е
графов. Например, если рассматривать циклизацию бутадиена с образованием
циклобутена, то графы АЕ, Ар, М, S, D, DE и Dp совместно с графом Ф", не
содержащим ребер, образуют множество, замкнутое относительно упомянутых
выше операций *.
Отметим, что 1) эти операции определены лишь для множества ребер графов,
2) все объединения и пересечения множеств ребер являются подмножествами
множества, содержащего все множества ребер, и 3) обе операции
рефлексивны. Вследствие этого множество всех множеств ребер этих графов
образует топологию, которая, в частности, изоморфна дискретной топологии
множества, состоящего из трех элементов, т. е. множества мощности из трех
чисел Р(3) соответственно.
V = [1, 2, 3, 4),
ЛЕ = (К,, f(l, 2)It [1, 2) 2, [2, 3)" (3, 4),, (3, 4) 2 J),
Ар = (К,[[1, 2),, (2, 3)" (2, 3)2, |3, 4),, [1, 4),)),
М = (V,E(Ae) U Е(АР)) =
е
= (V, ((1, 2),, [1, 2J2, [2, 3),, [2, 3)" [3, 4),,
(3, 4}2, [1, 4)! J),
S = (V,E(Ae) П Е(Ар)) =
е
= (К, {(1, 21,, {2, 31,, (3, 4},)),
D = (V, E(M$eE(S)) =
= (К, ((1, 2) 2, (2, 3) 2, (3, 4} 2, (1, 41,)),
De = (V, E(AE^eE(S)) = (К, Е(Ае) П E(D)) =
е
= (V, [[1, 2) 2, [3, 4) 2}),
DP = (V, E(Ap)eE(S)) = (К, Е(АР) П E(D)) =
е
= (К, 1(2, 3) 2, (1, 41,)),
Ф4 = (У, Ф)-
* Циклобутену соответствует граф Ар, бутадиену - граф А?. - Прим. перев.
Логика химических идей
447
:: ^ 11 п ? с о О
De Df S D At AP M
: ! 1 i 11 ! !
?¦{} (11 {2} {3} U2} {1,3} {2,3} {1,2,3}
РИС. 1. Взаимно однозначное отображение реакционных графов на дискретную
топо_-логию множества мощности Р(М) с А/ = { 1, 2, 3 ]. Чтобы различать
ребра S и?>, используются соответственно жирные и тонкие линии.
Без потери общности ребра могут быть снабжены индексами таким образом,
что оба графа S и D будут содержать соответственно только ребра с одними
и теми же индексами (рис. 1). Множество множеств ребер графов S, DE и Dp
образует множество элементов, на которых дискретная тополог-ия определена
как система подмножеств.
Аналогично могут быть введены топологии множеств ребер для других типов
перициклических реакций. Все такие топологии изоморфны топологии,
определенной выше, и их структуры остаются неизменными, даже если число
атомов, участвующих в реакции, увеличивается. Другими словами, за
исключением изоморфизма, топологии перициклических реакций всегда одни и
те же.
3. РЕШЕТКИ ПЕРИЦИКЛИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
Исходя из того факта, что множества ребер графов, полученные в рамках \-
модели [3], образуют топологию, которая эквивалентна топологии множества
мощности из трех элементов, и учитывая, что для соответствующего
топологического пространства действительна аксиома 7^-разделения, можно
упорядочить множество множеств ребер или соответствующие графы
относительно их окрестностей. Это может быть достигнуто введением
теоретико-множественного включения в качестве частичного упорядочивания.
Полученное частично упорядоченное множество (ч.у.м.) графов * является
булевой решеткой; это прямое следствие того факта, что
* В связи с этим термин "граф" используется в качестве аббревиатуры для
"множества ребер Е графа О = (И, ?)".
448
П. Плят, Е. Хасс
м
РИС. 2. Трехмерная реакционная решетка. РИС. 3. Динамическая подрешетка
трехмерной реакционной решетки.
такие графы образуют топологию, изоморфную топологии множества мощности
