Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
ds = 4Wldxlel + \fRl(dxl + dx2)i3 + 4W2dx42 , (16)
где /?,, R2 и R3 определены выше. Ясно, что ds - ds - ds2 имеет одно и то
же значение независимо от способа расчета. Преимущество уравнения (16)
заключается в том, что оно определяет ds через ортогональные компоненты
е,, ё2 и <?3, тогда как уравнение (15) выражено через неортогональные
компоненты. Уравнение (16) содержит также полную информацию для того,
чтобы сконструировать сеть -, т. е. сопротивления и соответствующие
проходящие токи ik (= = dxk). Ясно, что имеется третий способ расчета
ds2, на входных каналах сети:
ds2 = ilji + i2v2 = dxxdx' + dx2dx2. (17)
Поучительно рассмотреть локальную геометрию используемой процедуры
трехмерного вложения (рис. 3). Вектор, тангенциальный к координате у
(г,Vg^rfxr), лежит в плоскости, определяемой осями ёх и ёъ, и образует
угол а, = sin-1 (Vg^/Vg^7) с осью ёх. Аналогично вектор, тангенциальный к
координате лг, лежит в плоскости ё2ёъ и образует угол а2 = sin-1
(Vg^/Vg^) с осью ё2. При (ортогональных) координатах VgH - gl2dx\y/g22 -
gl2dx2n Vg^dx:1 -+¦ dx2) вдоль осей соответственно ё{, ё2 и <?3
непротиворечивость построения легко может быть проверена при
использовании теоремы Пи-
438
Л. Пьюзнер
2
а
5
РИС. 3. Геометрические аналогии межлу 2-мерным многообразием (Vg^dv2,
'fglldx') и 3-мерным вложением - gt2dxl, e2fg^2 -
gt2dx2 и e^Vg^idx1 + dx2).
фагора. К тому же ясно, что sin ах sin а2 = cos 012 = ql2. Мы вновь
подчеркиваем, что ортогональная система координат определена локально с
началом в рассматриваемой точке.
Проблема построения сети, обладакнцей активным сопротивлением, с
минимальным числом сопротивлений рассматривается в учебниках по теории
сетей (см., например, [12]). Я не буду обсуждать эту проблему в
дальнейшем, но, чтобы читатель смог проверить', приведу вектор, который
представляет простейшую линейную сеть, имеющую активное сопротивление, с
3 независимыми токами и п(п + 1)/2 = 6 сопротивлениями:
ds~ = V/?n - Rl2 - Rndxiel + - Rl2 - R2idx2e2 +
+ \>Rn (dx1 - dx3)e5 + V#23 (dx' - dx3)e6.
Если сеть изображена (при использовании сопротивлений, а не квадратных
корней!), то видно, что она сводится к Т-сети, когда один из выходных
токов полагается равным нулю. В самом деле, любое трехмерное многообразие
может быть редуцировано к Т-сети при проектировании в двумерное.
5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПУТИ
Дифференциальный путь, который минимизирует ds2, будет также
максимизировать отношение
+ V/?33 - Rl3 - R2idx3e2 + >/Rl2(dxl - dx2)e4 +
(18)
e
dx2dx2
dx,dxl
(19)
Представление л-мерных химических многообразий
439
т. е. локальный коэффициент трансформации энергии * -, который
соответствует сети с соотношением мощности на выходе и мощности на входе
е = -v2i2/v-lii. Может быть показано, что при постоянных коэффициентах
(приближение касательной плоскости) оптимальный путь определяется
сопротивлением "нагрузки" [11]
которое, следовательно, является отношением основной единицы длины
контравариантной координаты нагрузки Vg 22 dx к ковариант-ной координате
нагрузки \!g22dx для единичных смещений dx2 = = dx2 = 1. При таких
условиях коэффициент трансформации энергии определяется выражением
а2
** емакс - ~ г- -~Т > (21)
(1 + VI - g2)2
где д12 - косинус угла, определяемого уравнением (3). С помощью
геометрического преобразования или преобразования сети легко показать,
что
<712 = ~^= = -7==Ж ¦ (22)
Vgng22 Vg g
При условии что выражение для метрики (12) положительно определено,
неравенство Шварца приводит к 0 ^ д ^ 1; это интерпретируется как
физическое требование, согласно которому величина коэффициента
трансформации энергии должна находиться в интервале от 0 до 1.
Дополнительным интересным геометрическим результатом, следующим из
уравнения (21), является тот факт, что, когда угол между двумя
координатами на многообразии известен, максимальный локальный коэффициент
трансформации энергии, определенный выше, обусловлен изменением условий
"нагрузочного" процесса сети -, т. е. варьированием сродства выходного
процесса, тогда как выходная скорость - остается неизменной.
* Определение коэффициента трансформации энергии, соответствующее
рассматриваемому в следующем разделе этой статьи примеру трансформации
энергии гидролиза АТФ в энергию транспорта катионов; см., например,
[17*]. - Прим. перев.
440
Л. Пьюзнер
6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ХИМИЧЕСКОЙ СЕТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ
МНОЖЕСТВЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
Существуют два основных пути использования сетей на практике. В первом
случае мы имеем в наличии метрику и, исходя из нее, определяем сеть
(разд. 3). Однако более интересная проблема возникает, когда метрика не
задана и характеристики многообразия должны быть выведены из свойств
связности процесса (ППК и ВПК). Пример с евклидовой геометрией может быть
взят из анализа таких диаграмм линейного перехода между состояниями,
которые используются для анализа сопряженных реакций, изменения
молекулярной конформации, диффузии и диффузионных видов транспорта; при
