Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
так и с молекулярным анализом скоростей реакций в сложных системах [3-5]
*. В методе, введенном ранее [6, 7], применяются модели планарных систем
с "сосредоточенными" параметрами для представления (химических) или иных
метрических многообразий. Помимо обеспечения планарного представления
процессов более высокой размерности этот метод позволяет использовать
имеющийся математический аппарат, разработанный инженерами-электриками,
при рассмотрении больших систем, что является дополнительным
преимуществом.
2. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА и-МЕРНЫХ
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Для данной точки р на пути реакции s дифференциальный элемент -
расстояния, например изменение энергии между любыми двумя точками
(состояниями) в многообразии -, определяется с помощью римановой метрики
**
dE = ds2 = ds ¦ 3s = ? glkdx' dxk = ? g'kdx, dxk > 0, (1)
i, к i, к
в которой элементы фундаментального ковариантного метрического тензора
являются функциями положения, ах1 а хк - контрава-риантными координатами,
непрерывно определенными на этом многообразии. Мы предполагаем, что это
многообразие является дважды непрерывно дифференцируемым и что векторы
касательных 57 могут быть изображены в каждой точке р на пути 5~в на-
* См. также статьи Отмера и Кларка в этой книге. - Прим. перев.
** Подробнее об этом см., например, в [16*]. - Прим. перев.
Представление п -мерных химических многообразий
433
правлении каждой из этих координат:
Ясно, чтоglk = s*k, els' = Ttdxt и Ill'll = Vg^. Кроме того, угол 6lk,
образуемый любыми (двумя координатами в многообразии, определяется
соотношением
cos = и ~*,n = = г'*' (3)
lls,llls*l Vg^Vg^
Для любого дифференциального элемента на гиперповерхности метрическое
многообразие можйо рассматривать как семейство я-мерных гиперпризм,
имеющих ребра Vg^dv(1), Vg^rfx*2*, ... ... , Vg^cfcс(и), которые образуют
произвольные углы друг с другом. Площадь, объем или объем более высокой
размерности определяется как
Объем = (sin 0)Vgu&22•••?""cfcc(1)dx(2)...dx{n). (4)
Здесь в - угол, образуемый координатами и определяемый соотношением sin в
= det <7, где д - матрица, элементы которой равны qlk при i Ф j и 1 при /
= у. (Для удобства скобки будут опускаться при указании индексов
векторов.)
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ СЕТИ
Многообразие, метрические, ковариантные и контравариантные компоненты
могут быть представлены с помощью планарной электрической сети [6], в
которой линейные (омические) сопротивления Rlk соединяются между узлами
(/, к), где потенциалы определяются вторым правилом Кирхгофа (ВПК), а
инцидентные токй подчиняются первому правилу Кирхгофа (ППК) *. Такая сеть
Имеет два ортогональных векторных пространства, соответствующий ей [8],
размерность которых может быть определена путем удаления по одной ветви
сети каждый раз до тех пор, пока в сети не будет отсутствовать ток.
Множество удаленных ветвей (звеньев) образует базис векторного
пространства, порождаемого токами в сети, тогда как оставшийся подграф
образует дерево сети. В кирхго-
* Согласно первому правилу Кирхгофа (правилу узлов), сумма значений тока
на всех ребрах, инцидентных каждой вершине графа, равна нулю; согласно
второму правилу Кирхгофа (правилу контуров), сумма значений напряжений на
каждом цикле графа равна нулю. - Прим. перев.
434
Л. Пьюзнер
фовых сетях понятие линейной независимости возникает естественным путем
из определения деревьев и звеньев: при восстановлении по одному звену
каждый раз потоки в произвольной ветви дерева будут линейной комбинацией
потоков звеньев (принцип суперпозиции).
До того как будут введены основные соотношения для ветвей, мы докажем
равенство, известное инженерам-электрикам как теорема Телегина [9].
? vk'k = I "V/ + I vtit = 0. (5)
по всем по по ветвям
ветвям звеньям деревьев
Это важный топологический результат, полученный на основе ППК и ВПК. Хотя
он следует из основных понятий цепей, топологических циклов и граничных и
пограничных операторов комбинаторной топологии [10], уравнение (5) может
быть легко выведено графически с учетом того, что ППК позволяет
определить циркулирующие токи jm для каждой ячейки (рис. 1). При
разложении произведений vkik на произведения циркулирующих по ячейке
токов, умноженных на суммы напряжений в контуре, уравнение (5) получается
после применения ВПК к каждому контуру. Кроме того, мы можем разложить
члены, соответствующие звеньям и переменным дерева -; это можно
осуществить путем отрыва одной или больше ветвей от границы сети, не
отрывая их от сети --, чтобы получить
I "V* = I vtit. (6)
Если в ветви дерева - включены линейные сопротивления Rt, легко показать
при использовании обычных аналитических методов (см. приложение), что
суммирование членов, находящихся в левой части уравнения, приводит к
билинейной метрике
ф = I "kb = I Rkjikij > 0 (7)
* k,j
РИС. 1. Если выполняется ППК, то ток в произвольной ветви ib может быть
выражен как разность между токами, циркулирующими в петле j т. В таком
