Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
1605.
414
О. Рёсслер, Дж. Хадсон
18. Froehhng Н., Crutchfield J.P., Farmer S., Packard M.H., Shaw R.,
Physica, 1981, v. D3, p. 605.
19. Field R.J., Koros E., Noyes R.M., J. Am. Chem. Soc., 1972, v. 94, p.
8649.
20. Rossler O.E., Hoffman Dr, In: Analysis and Simulation of Biochemical
Systems,
H.C. Hemker, B. Hess (Eds.), North-Holland, Amsterdam-New York, 1972, pp.
91-102.
21. Hudson J.L., Mankin J., J. Chem. Phys., 1981, v. 74, p. 6171.
22*. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. - М.: Мир, 1980.
23*. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся
системах и устройствах. - М.: Мир, 1985; Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и
катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985.
24*. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. - М.: Мир,
1986, с. 109-112.
СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯХ С
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
X. Дегн (Н. Degn)
Institute of Biochemistry, Odense University, 5230 Odense M, Denmark
Построено двумерное отображение для периодически возмущенного
осциллятора, представленного линейной периодической передаточной функцией
с отрицательным угловым коэффициентом. Итерирование отображения при малой
интенсивности возмущения и изменения частоты обнаруживают регулярную
структуру окон с малым целочисленным периодом колебаний. В большинстве
окон существуют две различные моды колебаний, иногда с разными периодами.
При увеличении интенсивности возмущения все окна фрагментируются в
результате бифуркаций удвоения периода, вне окон существует странный
аттрактор.
1. ВВЕДЕНИЕ
Нелинейные динамические системы часто изучаются путем измерения их
отклика на периодические возмущения. Типична структура окон с малыми
целочисленными периодами и полос сложной динамики, появляющаяся при
изменениях частоты или интенсивности параметра возмущения [1-4].
Структура окон для модельных дифференциальных уравнений была детально
изучена [4], однако общая теория отсутствует. В настоящей работе сделана
попытка найти некую путеводную нить к решению этой проблемы при помощи
численных исследований простой модельной системы, представленной линейной
периодической передаточной функцией с периодическим возмущением.
Приложение возмущения к передаточной функции, а не к дифференциальным
уравнениям существенно упрощает расчеты. Найденная в модели структура
окон имеет регулярную картину и, по-видимому, является приемлемым
приближением к структуре окон периодически возмущаемого многопеременного
осциллятора.
Многие осцилляторы описываются простой хорошо определенной передаточной
функцией вида
*"+!=/(*")> (О
где хп - величина п-й амплитуды или длина //-го периода. Передаточная
функция f{x) может иметь максимум, в этом случае она не-
416
X. Дегн
обратима. Это свойство может приводить к бифуркациям удвоения периода
даже в отсутствие возмущений [5-7].
Точка пересечения передаточной функции (1) и линии, задаваемой тождеством
jc"+[ = хп, представляет состояние осциллятора с фиксированными
амплитудой и периодом. Такое состояние устойчиво, если угловой
коэффициент передаточной функции в фиксированной точке лежит в пределах
от - 1 до 1. При значениях углового коэффициента, находящихся вне этого
интервала, состояние неустойчиво. В дальнейшем мы рассмотрим случай
отрицательного углового коэффициента. О передаточных функциях различного
вида для модельных дифференциальных уравнений и реальных систем
сообщалось в работах [8-11]. В настоящей статье мы ограничимся
идеализированным линейным случаем.
Рассмотрим линейную передаточную функцию
хп +1 = Ахп - - А + - , (2)
где хп - длина л-го периода и А - угловой коэффициент. Фиксированной
точкой является (1/2, 1/2) для всех угловых
коэффициентов *, соответствующих осциллятору с длиной периода 1/2. Эта
передаточная функция обратима и сама не допускает сложной динамики
поведения. Мы возмущаем функцию (2) добавлением члена, периодически
изменяющегося со временем, определяя время как сумму периодов. Это
приводит к следующему двумерному отображению:
*n+1 = Ахп - -I А + I + R sin (2irFtn), (3)
*я + 1 = + *л+1 >
где R и F - параметры интенсивности и частоты соответственно, а /" -
время в конце и-го периода. Это отображение включает "стандартное
отображение" Чирикова гамильтоновых систем при А = 1 [12].
2. РЕЗУЛЬТАТЫ
Уравнение (3) итерируется для отрицательных величин углового коэффициента
при линейном изменении с небольшой скоростью параметра частоты. В ходе
итерации х выбирался случайным образом (в среднем одно из 50) и был
представлен как функция параметра
* Естественно, кроме 'А = 1. - Прим, перев.
Странные аттракторы
417
F
РИС. 1. Выборки хп, представленные графически, в ходе непрерывной
итерации уравнения (3) при увеличении и уменьшении параметра частоты Р.
Сплошные кривые соответствуют окнам с малым целочисленным периодом.
Штриховые линии окаймляют области разброса точек. Величины параметроа
