Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
моделях осцилляторов, показанных в табл. 1, - осциллятора Лотки -
Вольтерра и брюсселятора. -
дт
(8)
* А также в работах [15*, 16*]. - Прим. перев.
Использование анализа чувствительности
427
ТАБЛИЦА 1. Молельные осцилляторы, изученные с помощью анализа
чувствительности
БРЮССЕЛЯТОР ОСЦИЛЛЯТОР ЛОТКИ - ВОЛЬТЕРРА
X = кх + k2X2Y - к}Х - к4Х X = кхХ - к4Х2 - k2XY + k}Y2
Y = кгХ - k2X2Y Y = k2XY - k$Y2 - k}Y
ЗНАЧЕНИЯ ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ Atj = к2 = к4 = 1,0 Ат, = к2 =
к} = 1,0
Аг3 = 3,0 к4 = ks= 0,0
*(0) = 1,1, У(0) = 3,0 Х(0) = У(0) = 0,5
В последнем всегда достигается один и тот же цикл независимо от выбора
начальных условий; это означает, что Зт/Эау = 0 при начальном условии ау.
Следовательно, коэффициенты чувствительности при начальных условиях
являются периодическими функциями для брюсселятора и будут
непосредственно приводить к физической интерпретации, как показано на
рис. 2а. Осциллятор Лотки - Воль-терра не является осциллятором с
предельным циклом, и при начальных условиях, достаточно далеких от
неустойчивого фокуса в
Зависимость ЗХ/дХ0 от бремени
РИС 2а Коэффициенты чувствительности при начальных условиях ЭХ/ЭХ0 для
Модель и исходные параметры указаны в табл 1 По-видимому, имеется
начальный индукционный период, за которым следует регулярная
периодическая функция, определенная в данном случае для 10 циклов
исходной функции
428 Р. Лартер
Время
РИС. 26 Коэффициенты чувствительности при начальных условиях дХ /дХ0 для
осциллятора Лотки - Вольтерра, определенные для четырех циклов исходного
решения
(см. табл. 1).
Для этого ocmmnntopa индукционный период не наблюдается, поскольку он не
является осциллятором с предельным циклом: кроме того, видно возрастание
со временем, обусловленное вторым членом в уравнении (6).
Забисимость (дХ/дХ0)т от бремени
Время
РИС. 2в. Модифицированный коэффициент чувствительности (дХ/дХ0) ,
определенный из рис. 26 и уравнений (6)-(8). Модифицированный коэффициент
чувствительности является периодическим, и нами установлено, что дт/дХ0 =
-1,1.
фазовой плоскости, коэффициенты чувствительности при начальных условиях,
представленные на рис. 26, качественно отличаются от аналогичных
коэффициентов для брюсселятора. Описанный в разд. 2 метод может быть в
этом случае реализован и использован для выделения двух физически важных
членов - чувствительности периода Эт/Эс^ [уравнение (8)] и
модифицированного коэффициента чувствительности (дС^да )т, показанного на
рис. 2в. Как для осциллятора Лотки - Вольтерра, так и для брюсселятора
установле-
Использование анализа чувствительности
429
но, что наибольшие вариации концентрации, обусловленные возмущением
начальных условий, происходят, когда исходное решение является максимумом
или минимумом. Подробности приводятся в работе [6].
3.2. КОНСТАНТЫ СКОРОСТИ
Коэффициенты чувствительности для параметров, таких, как константы
скорости, качественно подобны коэффициентам, показанным на рис. 26 для
обоих осцилляторов, т. е. функциям незатухающих колебаний в зависимости
от времени. Исходное решение для осциллятора Лотки - Вольтерра взято
равным периодическому решению, справедливому для кг = к2 = к3 = 1,0 и к4
= к5 = 0,0. Если к4 и к5 отличны от нуля, то колебания будут затухать или
полностью прекратятся. Следовательно, эта исходная точка является точкой
бифуркации в двух направлениях к4 и к5 в пространстве параметров. Следует
ожидать, что коэффициенты чувствительности дС1/дк4, дС'/дк5 будут
качественно отличаться от коэффициентов чувствительности для параметров
кх - к3, но фактически такие качественные различия не наблюдаются. Однако
при использовании для выделения чувствительностей периода дт/дк4 и дт/дк5
метода, описанного в предыдущем разделе, возникали трудности, связанные с
численными расчетами, которые не встречались при расчетах дт/дк1, дт/дк2
и дт/дк3. В действительности с помощью этого метода невозможно найти
величины дт/дк4 и дт/дк5. Эти величины, по сути, не являются хорошо
определенными для этой задачи, поскольку вариации величин к4 и к5 вдали
от исходной нулевой точки приводят к тому, что периодическая функция
становится неустойчивой.
Таким образом, анализ чувствительности является методом, с помощью
которого может быть оценена структурная неустойчивость
многопараметрических моделей и получено более детальное описание. Мы
можем сказать, что для исходного решения, рассмотренного здесь,
осциллятор Лотки - Вольтерра структурно-неустойчив относительно вариаций
к4 и к5, но не вариаций Аг,, к2 и к3. Эти свойства осциллятора Лотки -
Вольтерра, конечно, хорошо известны. Успешное применение анализа
чувствительности при несомненном (и количественном) подтверждении этих
фактов позволяет предположить, что он будет полезным инструментом для
изучения моделей, не являющихся столь простыми *.
* См., например, [16*. 17*]. - Прим. перев.
430
Р. Лартер
3.3. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СИТУАЦИИ
Анализ чувствительности был расширен для включения пространственных
