Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
Переменная С, являющаяся постоянным экзогенным параметром, действует как
параметр, вызывающий бифуркацию Хопфа: когда величина С велика, система
А, В порождает релаксационное колебание треугольной формы с большой
амплитудой; когда величина С мала, получается только притягивающее
стационарное состояние (см. рис. 1, а).
Если С более не рассматривается как параметр, а вместо этого делается
зависимой величиной от малого постоянного притока слева и не слишком
медленного уравновешивания с А справа [в соответствии со схемой уравнения
(1)], то получаем результат, представленный на рис. 1, б, для
соответствующего набора констант скорости: по мере того как С медленно
удаляется'от близких к нулю значений, А также медленно возрастает - до
достижения порогового значения А, за пределами которого величина В должна
начинать автокаталитически увеличиваться за счет расхода А. Затем вместе
с А более или менее, быстро понижается величина С до тех пор, пока не
будет вновь достигнута ситуация с низкими величинами С, А и В и т. д.
а 6 в
РИС. 1. Поведение траектории в системе, описываемой уравнением (1). а -
переменная С рассматривается как параметр; б - переменная С является
медленной переменной, в - прототипный поток (см. текст). Стрелка -
означат уровень, на котором происходит бифуркация Хопфа.
410
О. Рвсслер, Дж. Хадс'он
Если предельный цикл (и рисунок в целом) был построен симметрично, то
результатом должно быть вращательно-симметричное (тороидальной формы)
движение квазипериодического типа. Вследствие действительно имеющейся
асимметрии этот тор, искаженный в достаточной степени, производит
искаженно-тороидальный хаос (ср. с [8]). Эта существенная асимметрия
изображена символически на рис. 1, в как сильный поток воздуха на верхнем
уровне, искажающий вращательно-симметричное (в отсутствие потока)
повторяющееся движение вверх - вниз модельной плоскости планера.
Помимо системы, представленной уравнением (1), существуют многие другие
системы, попадающие в тот же самый класс. Второстепенным вариантом
является следующая реакционная схема:
Здесь А и В снова образуют релаксационный генератор (хорошо известный
осциллятор Селкова-Деккера, вариант брюсселятора *), пока С вновь
действует как медленный источник [10]. Тот факт, что медленный поток
входит в А, а не в С, не приводит к различиям.
Другим примером является
Здесь подсистема А, В - осциллятор Тьюринга [13]. Она была усилена при
помощи медленной переменной аналогично предыдущему случаю. Отметим, что
та же самая схема [уравнение (3)] могла быть почти эквивалентным образом
интерпретирована как вариант осциллятора [уравнение (1)] с С, А,
занимающими положения А, В, тогда как роль возмущающего (вызывающего
бифуркацию Хопфа) "переменного параметра" С в уравнении (1) теперь играет
"боковая" переменная В (которая в данном случае будет катализатором).
Эти примеры показывают, что простые модификации хорошо известных
химических осцилляторов во многих случаях оказывают-
(2)
С
С
(3)
* Эта модель названа брюсселятором в честь брюссельской школы Пригожи-на.
- Прим. перев.
Высший хаос в простых реакционных системах
411
ся достаточными, чтобы превратить их в генераторы хаоса. До сих пор лишь
уравнение (1) было решено численно до конца (ср. [10]).
В этом месте можно упомянуть, что указанный выше метод, способный
предсказывать получение новых типов динамического поведения путем
превращения параметра в зависимую медленную переменную, никоим образом не
является новым, как показывает пример осциллятора Рэлея - Льенарда (см.
[14]). Этот метод, например, использован для генерирования произвольно
больших химических систем с заданным поведением ("химические автоматы"
[14]).
3. МЕТОД ПОРОЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ХАОСА
Принцип искаженного тора, использованный в предыдущем разделе для
порождения обыкновенного хаоса из двумерных подсистем, может быть
обобщен. Все, что необходимо сделать для этого, - это заменить предельный
цикл (который в указанном выше случае существует на части обыкновенного
тора) притягивающим хаотическим режимом (существующим теперь на части
тора более высокой размерности).
Опять-таки, если хаотический режим возникает достаточно быстро в
трехмерной подсистеме по мере того, как варьируется основной параметр, и,
кроме того, он достаточно асимметричен по форме, "тороидальное искажение"
(свертывание теперь уже приблизительно гипертороидального движения) будет
происходить еще раз, приводя к новому независимому направлению растяжения
и свертывания в поперечном сечении и, следовательно, к хаосу более
высокого порядка [15], если этот параметр превращен в медленную
переменную.
Параметры, контролирующие возникновение (и исчезновение) хаоса, легко
найти во всех хаотических системах. По аналогии с параметрами,
генерирующими предельный цикл в системах с двумя переменными, они могут
порождать хаос либо "мягким" (в данном случае - удвоение периода [16]),
либо "жестким" образом (внезапное возникновение явного хаоса; ср. с [1] в
