Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
равны: А -- -0,8, R = 0,05.
частоты. Поскольку частота возмущенного осциллятора [уравнение
(3)] равна 2, относительная частота возмущения ы/ш0 равна (1/2)F. На
полученном графике малые целочисленные периоды показаны сплошными
кривыми. Существование т кривых в одной точке оси F обычно означает
период т. Однако некоторые кривые практически неразличимо расщепляются
таким образом, что кратность периода оказывается выше, чем можно было
непосредс гвенно заключить из рассмотрения кривой. Другие типы динамики
приводят к разбросу точек. На рис. 1 показан пример, в котором
комбинируются точки, полученные в эксперименте с увеличением частоты и в
эксперименте с уменьшением частоты. Показаны только основные сплошные
линии. Штриховые линии окаймляют области разброса точек и узкие окна.
Около целочисленных величин параметра частоты F имеются окна с двумя
сплошными кривыми, которые пересекаются поочередно один раз или дважды.
Между этими широкими окнами с периодом 2 существуют многочисленные узкие
окна, не показанные на рис. 1, за исключением заметных окон вблизи F -
4,5 и 5,3. Первое из них имеет период 4, тогда как последнее
фрагментирова-
418
X. Дегн
РИС. 2. Бифуркации при увеличении интенсивности возмущения в окне около F
= 2. Стрелками показаны различные пути, зависящие от направления
изменения F. а-А = -0,8, R = 0,14; 6 - А = -0,8, R = 0,15; в - А = -0,8,
R = 0,16; г - А = -0,8, R = 0,17.
но на последовательность окон с периодами 4, 8 и 4. Соответствующие окна
с периодом 4 существуют при более низких частотах (F = 3,5 и т. д.),
причем они являются очень узкими. В общем случае ширина соответствующих
окон увеличивается с увеличением частоты, и в конечном счете все они
фрагментируются в результате бифуркаций удвоения периода. Впервые это
явление наблюдалось при F = 5,5.
Расчеты не дают тех же самых результатов для обоих направлений изменения
частоты. Некоторые части кривых появляются
Странные аттракторы 419
РИС. 3. Бифуркации при увеличении интенсивности возмущения в окнах около
F = 3
и 3,5.
а - А = -0,8, R = 0,09, 6 - А = -0,8, R = 0,1; в - А = -0,8, R = 0,11; г
- А - -0,8,
R = 0,13.
только при одном направлении изменения. Например, внешние части кривых в
окнах при нечетных значениях F, показанные на рис. 1, перекрывают области
разброса точек. Другой пример показан стрелками в окнах четного типа,
изображенных на рис. 2, о. Таким образом, в модели имеются окна, где
могут существовать две различные моды с одной и той же частотой
возмущения.
Увеличение интенсивности возмущения при постоянной частоте возмущения
обычно приводит к фрагментации всех типов окон в результате бифуркаций
удвоения периода. На рис. 2 показана "судьба" окна около F = 2 и на рис.
3 - около F = 3 и 3,5. Единственная бифуркация (см. рис. 2, б) приводит к
периоду 4 с каждым вторым подпериодом идентичной длины. Это также
является примером сосуществования осцилляций с различной кратное-
420
X. Дегн
IP
Хп 0,5
-10 1 sm(2Tt Ftn)
РИС 4 Странный аттрактор при F = 2,1, А = -0,8 и R = 0,165.
тью периода в одном окне. Примеры бифуркаций, представленные на рис. 2 и
3, характерны для окон их типов. Все окна четного типа фрагментируются
как окно, показанное на рис. 2, и т. д.
Величины параметров для бифуркаций могут быть определены только для
нескольких первых шагов. Константа Фейгенбаума для параметра сходимости R
[13] при F = 2,1 была получена равной 5,45 для удвоений 8-16-32. Число
Фейгенбаума равно 4,6692.
Природа динамики, существующей в полосе, разделяющей два каскада
бифуркаций (рис. 2, в), была изучена путем построения графика зависимости
хп от sin (2irFtn) для фиксированных значений параметров. Результирующий
график, показанный на рис. 4, имеет характеристики странных аттракторов
*, таких, как аттракторы двумерного отображения Хенона [14] и
дифференциального уравнения Дуффинга (см. [15]).
Расчеты, аналогичные описанным выше, были также осуществлены для
отображений, имеющих в фиксированной точке выпуклую или вогнутую
кривизну. Это не ведет к каким-либо сущест-
* Понятие странного ("хаотического") аттрактора (введенное Рюэлем и
Такеи-сом) и вопрос о классификации странных аттракторов при
использовании показателей Ляпунова рассмотрены в [16*]. - Прим. перев.
Странные аттракторы
421
венным изменениям по сравнению с линейным случаем. Установлено, что
структура окон лишь незначительно искажена по сравнению со структурой
окон, показанной на рис. 1.
В отличие от большинства описанных двумерных отображений рассмотренное
здесь отображение имеет непосредственную физическую интерпретацию, а
именно - периодическое возмущение осциллятора с помощью функции близкого
периода с отрицательным угловым коэффициентом в фиксированной точке.
Известно, что это свойство существует в реальных системах. Некоторые из
примеров бифуркаций, описанных здесь, весьма сходны с результатами
экспериментов и моделями, представленными дифференциальными уравнениями
