Химические приложения топологии и теории графов - Кинг Р.
Скачать (прямая ссылка):
22*. Clarke B.L., In: Non-Linear Phenomena, Chem. Dyn. Proc. Int. Conf.,
Bordeaux, Sept. 7-11, 1981. - Berlin, 1981, pp. 240-246.
23*. Tabbutt F.D., In: Survey of Progress in Chemistry, Vol. 10, Academic
Press N.V., 1983, pp. 129-187.
ВЫСШИЙ ХАОС В ПРОСТЫХ РЕАКЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
О. Рёсслер (О.Е. Rossler) ', Дж. Хадсон (J.L. Hudson)2
1 Institute for Physical and Theoretical Chemistry, University of
Tubingen,
7400 Tubingen, FRG
2 Chemical Engineering Department, University of Virginia,
Charlottesville,
Virginia 22901, USA
В реальных химических осцилляторах может возникать высший хаос - с более
чем одним положительным значением характеристического показателя Ляпунова
(т. е. более чем с одним направлением экспоненциальной дивергенции на
аттракторе). Описан новый способ порождения высшего хаоса. Он
представляет собой обобщение метода создания хаоса путем добавления еще
одной переменной к осциллятору с предельным циклом (метод медленных
переменных). Поскольку новая добавленная переменная является химически
"неэкзотической" (не вводит в схему никаких новых стрелок регулирования
скорости каталитических реакций) и, кроме того, ее положение не является
очень критическим, весьма вероятно, что она предопределяется уже в любой
конкретной хаосообразующей реакционной системе.
1. ВВЕДЕНИЕ
При встрече с детерминистским хаотическим явлением, подобным мерцанию
неоновой трубки [1] или нерегулярному режиму реакции Белоусова-
Жаботинского [2, 3], возникает важный вопрос: что такое "порядок"
наблюдаемого хаоса?
Согласно чисто эмпирическому правилу, хаотические режимы, порождаемые при
модельном описании обыкновенными дифференциальными уравнениями (как,
например, в химических реакторах с хорошим перемешиванием) *, склонны к
низкому порядку (самое большое п - 2, если п - число переменных), тогда
как режимы, порождаемые дифференциальными уравнениями в частных
производных (трубка тлеющего разряда, или неоновая трубка, соединенная с
затемнителем, или химический осциллятор без перемешивания), стремятся к
очень высокому порядку. Использование отображения последовательных
амплитуд [4] может послужить простым средством для решения вопроса,
является ли аттрактор сильно притягивающим. Экстремум последовательности
амплитуд на некото-
* См., например, [24*]. - Прим. перев.
408
О. Рвсслер, Дж. Хадсон
ром временнбм интервале единичной длины, представляемый графически как
функция конца временнбго интервала, дает более или менее одномерное (хотя
и свернутое) подмножество в плоскости Е", Е"+,, если хаос простой
(первого порядка), либо в противном случае дает облако точек,
"заполняющее плоскость". В последнем случае имеется возможность
представления всех точек более или менее двумерным (хотя и дважды
свернутым) подмножеством в кубе Еп, Еп + 1, Еп+2 и т.д. Возможность
такого представления \{т - 1)-мерным подмножеством т-мерного куба] быстро
уменьшается с увеличением т, так что применимость этого метода ограничена
[5]. Тем не менее он является идеальным, если только стоит вопрос о том,
какой выбрать хаос: высокий или низкий?
Странно, но до сих пор не известен ни один пример даже простейшего хаоса
(например, второго порядка) в химической системе с хорошим
перемешиванием, либо в любом другом классе хорошо изученных
экспериментальных систем; в связи с этим см. [6, 7].
В дальнейшем будет описана эвристическая процедура, служащая для
порождения высшего хаоса в простых реакционных системах. Аргументация
будет полностью геометрической.
2. МЕТОД ПОРОЖДЕНИЯ ОБЫКНОВЕННОГО ХАОСА
Обыкновенный хаос (первого порядка) легко создать с помощью некоторых
способов. Одна из возможностей - комбинирование двухпеременного
осциллятора с однопеременным переключателем
[2]. Другая - комбинирование двух осцилляторов [8, 9]. Третий способ
заключается в комбинировании двухрезервуарного осциллятора с медленной
переменной (так называемый хаос Лоренца [4] в простом случае [1]).
Дополнительные методы типа возмущений и бифуркаций обсуждены в работе
[6].
Следующий метод возмущения (ср. с [10]) представляется особенно простым:
возьмем двухпеременный осциллятор с предельным циклом и превратим один из
его параметров бифуркации Хопфа * в медленную переменную, делая его
зависимым от одной из двух переменных (т. е. амплитуды) осциллятора. В
таком случае, если возникающий предельный цикл обладает свойством
быстрого увеличения амплитуды и, кроме того, асимметричен (как в случае,
например, релаксационных генераторов), весьма вероятно, что мы найдем
притягивающий хаотический режим.
* Бифуркация из фокуса в предельный цикл. Подробнее об этом см. в [22*,
23*]. - Прим. перев.
Высший хаос в простых реакционных системах
409
Рассмотрим для примера систему
Здесь подсистема А, В (при постоянном D0 - катализаторе, как в системе
Михаэлиса-Ментен) является двухпеременным осциллятором с предельным
циклом. Это сокращенная версия (гипотеза псев-достационарного состояния)
простейшего (трехпеременного) осциллятора типа действующих масс [11].
