Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
416
Глава 9
граням кристалла. Теперь соединим все точки северного полушария с южным полюсом и отмстим точки, в которых соединительные линии пересекают экваториальную плоскость. Это создаст представление о гранях верхней полусферы кристалла внутри одного круга, как показано на рис. 9-10,6. Выполнив аналогичную операцию для точек на экваторе (9-10, в) и в южном полушарии (9-10, мы получим представление обо всем кристалле внутри круга проекций (9-10, д). Точки северного полушария отмечены темными кружками, а южного-светлыми. На рис. 9-11 приведены примеры стереографических проекций некоторых простых полиэдров.
9.3. Ограничения
Наличие только 32 классов симметрии внешней формы кристаллов, очевидно, является следствием их внутреннего строения. Трансляционная периодичность ограничивает элементы симметрии, которые могут присутствовать в кристалле. Наиболее строгое ограничение - это отсутствие в кристаллах поворотных осей пятого порядка. Рассмотрим, например, плоские сетки многоугольников, обладающих поворотными осями второго, третьего, четвертого, пятого и т.д. порядков (рис. 9-12). Многоугольники с двойными, тройными, четверными и шестерными осями покрывают всю поверхность без каких-либо промежутков, в то время как многоугольники с осями симметрии пятого, седьмого и восьмого порядков оставляют на поверхности промежутки.
Типичные примеры полного покрытия доступной поверхности правильными шестиугольниками показаны на рис. 9-13. Заметно имеющееся сходство с плотноупакованными кругами. На самом деле, когда из воска строятся пчелиные соты, сначала образуется сетка из кружков. Пчелы почти одинаковы по величине, и они постоянно совершают кругообразные движения. Сетка из кругов не будет полностью покрывать всю доступную поверхность. Шестиугольники будут образовываться по мере того, как жидкий воск будет затекать в полости между цилиндрами.
На рис. 9-14 представлены две плоские сетки восьмиугольников. Очевидно, что правильные восьмиугольники не могут покрывать поверхность без промежутков. Среди восьмиугольников встречаются мень-
т ш А ш
@ «> 883 833
Рис. 9-12.
Плоские сетки правильных многоугольников, обладающих симметрией вплоть до поворотной оси восьмого порядка.
а
правильных шестиугольников, покрывающих поверхность без промежут-ков и перекрывании.
а-п_,е соть,. Фотография Предос=Гоф^ ^
б-платформы для добычи нефти иней <аСтатойл,>, Норвегия; в -столбообраз-
литографии, приведенной в отчете 1979 ¦ ^™™™ таимствоватшый из [15]; г- глаз ные базальтовые соединения. ^^^Ш^Т^тография любезно предоставлена
л;Гдж.Гр^
27-1553
420 Гдама 11
Рис. 9-15.
Иллюстрация определения возможных порядков поворотных осей, которые могут присутствовать в пространственных группах [3]. © 1960 McGraw-Hill, Inc. Использовано с разрешения.
Симметрия в кристаллах 421
Таблица 9-1. Допустимые поворотные оси п в решетке
Возможные значения т - 1 cos <р <Р(") п
-2 -1 180 2
-1 -1/2 120 3
0 0 90 4
4-1 + 1/2 60 6
+ 2 + 1 360 1
или 0
ограничения, что и порядок простых поворотных осей.
Рассмотрим теперь ограничения, налагаемые на винтовые оси. В решетке винтовые оси должны быть параллельны трансляционному направлению. После и поворотов на угол <р и п переносов на расстояние Т, т. е. после п переносов вдоль винтовой оси, общее число трансляционных расстояний в направлении этой оси должно быть равно некоторому кратному числу трансляций решетки тг:
пТ= пи
где п и ю-целые числа. Из этого уравнения получаем Т= гм/п
где т, конечно, может быть 0, 1, 2, 3 и т. д., но п может быть только 1, 2, 3, 4 или 6. Теперь можно определить допустимые значения шага винтовых осей в решетках. Их сводка дана в табл. 9-2, при этом принимается также во внимание, что (3/2 г) = г 4- (1/2) г, (5/4) I = г + (1/4) I и т. д. Существует только 11 винтовых осей, пт, которые допустимы в решетке в соответствии с табл. 9-2. Нижний индекс в обозначении (т) взят из выражения Т= (т1)/п. Простые поворотные оси можно рассматривать как частный случай винтовых осей с т = 0 и т = п. На рис. 9-16 изображены 11 винтовых осей. Ясно, что некоторые пары отличаются только направлением поворота. Такие винтовые оси являются энантиоморфными. Следующие пары винтовых осей энанти-оморфны: 3! и 32, 4, и 43, 6, и 65, 62 и 64.
Наконец, единственный элемент симметрии, который осталось рассмотреть,-плоскость симметрии скользящего отражения. Она вызывает скользящее отражение в результате отражения и переноса. Трансляционная компонента Г плоскости скользящего отражения представляет собой половину обычной трансляции решетки в направлении скольжения. Скольжение вдоль оси а равно Т= (1/2) а и называется плоскостью скользящего отражения а. Подобным образом диагональное скольжение может иметь Т= (1/2)д + (1/2)с. Различные возможные плоскости скользящего отражения приведены в табл. 9-3.
шие по величине квадраты. Один из узоров нарисован по Вашарею, а другой представляет собой рисунок венгерской вышивки. Было высказано предположение [16], что рисунок Вашарея из восьмиугольников создан под некоторым влиянием народного искусства.
