Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Теперь рассмотрим возможные типы осей симметрии в пространственных группах (см., например, [3]). На рис. 9-15 приведен узловой ряд с периодом /. Через каждый его узел проходит поворотная ось я-го порядка, С„. Поскольку п поворотов всякий раз на угол <р должны приводить к самосовмещению, неважно в каком направлении они выполняются. Два поворота на угол <р вокруг двух осей в противоположных направлениях показаны на рис. 9-15. Полученные таким образом два новых узла обозначим р и q. Эти два новых узла находятся на равных расстояниях от исходного ряда, и, следовательно, соединяющая их линия параллельна исходному узловому ряду. Длина параллельного отрезка, соединяющего р и q, должна быть равна произведению целого числа т и периода Л Если это не так, то линия, соединяющая новые узлы р и q, не будет трансляцией решетки и полученное множество не будет периодическим.
Используя рис. 9-15, можно определить углы поворота <р, которые могут существовать в решетке:
mt = / + It cos (р, m = 0, + 1, + 2, ± 3, ... где + т или — т зависит от направления поворота, а cos<p = (т — 1)/2
Следует рассматривать только решения, соответствующие области — 1 < cos ср < 1
Эти решения приведены в табл. 9-1. Возможны только пять решений, и соответственно лишь пять типов поворотных осей совместимы с решеткой. Таким образом, в кристаллических структурах недопустима не только симметрия пятерной оси, но невозможны также все оси порядка выше шести. Естественно, это с таким же успехом применимо и к плоским сеткам.
Допустимый порядок зеркально-поворотных осей имеет те же
422 Глава 9
Т
I 0/, 1 л 2t,...
2 0л (1/2) 1, {2/2)1, (3/2) л...
3 0/, (1/3) л (2/3) /, (3/3)/. (4/3)/....
4 0л (1/4) л (2/4) л (3/4)Л (4/4) /, (5/4)/,...
6 0л (1/6) л (2/6) л (3/6)/, (4/6)/. (5/6) л (6/6)/, (7/6)/,...
п Т (исключены 0
1 2 (1/2)Л
3 (1/3)Л (2/3)Л
4 (1/4)Л (2/4)Л (3/4)/,
6 (1/6) Л (2/6)/, (3/6)/, (4/6)/, (5/6)'
п Обозначение винтовых осей, допустимых в решетке
2 2,
3 3, 32
4 4, 42 43
6 6, 62 6з 64 65
Тот факт, что кристалл имеет решетчатую структуру, накладывает строгие ограничения на симметрию его внешней формы. Между тем возникает вопрос: можно ли получить любую информацию о кристаллической решетке, зная симметрию внешней формы?
32 кристаллографические точечные группы могут быть классифицированы по симметрийным критериям. Их обычно группируют в соответствии с осью наиболее высокого порядка, которую они содержат. Полученные группы называют кристаллографическими системами. Таких систем существует всего семь, и они представлены в табл. 9-4. Чтобы получить пространственные группы, кристаллографические точечные группы следует комбинировать со всеми возможными пространственными решетками.
Симметрия в кристаллах
423
тК1
г*
А
I1
И 'винтовых осей. Для полноты сравнения показаны также поворотные оси 2, 3, 4 и 6 [3]. © 1960 McGraw-Hill, Inc. Использовано с разрешения.
Таблица 9-2. Возможные значения шага Тдля винтовой оси и-го порядка
Глава У
Таблица 9-3. Возможные плоскости скользящего отражения Тип скольжения Символ Трансляционная компонента
Координатное а
Координатное b
Координатное г
Диагональное п
Алмазное" d
all
А/2
с/2
а/2 + 6/2; 6/2 + с/2 или с/2 + а/2
а/4 + 6/4; 6/4 + с/4 или с/4 + а/4
Трансляционная компонента равна половине истинной трансляции вдоль диагональной грани центрированной плоской решетки.
Таблица 9-4. Характеристика кристаллографических систем
Система Минимальная симметрия (диагностические зле-менты симметрии) Соотношения между ребрами и углами элементарной ячейки Тип решетки Нумерация на рис. 9-17
Триклинная 1 (или Т) а Ф 6 Ф с аф^ФуФ 90° р 1
Моноклинная 2 (или 2) а ф Ь ф с а = у = 90' Ф В р С (или А) 2 3
Ромбическая 222 (или 222) афЬф с а = В = у = 90' Р С (или В, или А) 1 F 4 5 6 7
Тригональная (ромбоэдрическая 3 (3) а = Ь = с а = р = у ф 90° R 8
Гексагональная 6 (6) и = Ь ф с а = В = 90° у = 120" Р 9
Тетрагональная 4 (или 4) а = 6 ф с а = р = у = 90' Р I 10 11
Кубическая Четыре 3 (или 3) а = 6 = с а = р = у = 90" Р I F 12 13 14
Симметрия к кристаллах
425
9.4, 230 пространственных групп
В трехмерном пространстве существует всего 14 бесконечных решеток, называемых решетками Бравэ (рис. 9-17). Они являются аналогами пяти бесконечных решеток в двумерном пространстве. Решетки Бравэ представляются в виде точек в вершинах параллелепипедов. Соответствующие параллелепипеды способны заполнить все пространство без промежутков и перекрываний. Представление решеток в виде систем точек особенно полезно, так как это позволяет соединить точки решетки любым желаемым образом в соответствии с требованиями симметрии. Таким образом, не только первоначальные формы параллелепипедов, но и любые другие возможные фигуры могут быть использованы как элементы для построения пространственной решетки.
0 h 2
О
10
11
Рис. 9-17.
14 решеток Бравэ.
426
Глава 9
14 решеток Бравэ перечислены в табл. 9-4. Решетки характеризуются следующими типами: примитивная (Р, R), базоцентрированная (С), гранецентрированная (F), объемноцентрированная (/). Число решеток Бравэ в табл. 9-4 соответствует их числу на рис. 9-17. Параметры решетки также перечислены в таблице. Кроме того, показано распределение типов решеток по кристаллографическим системам.
