Симметрия глазами химика - Харгиттаи И.
ISBN 5-03-000276-6
Скачать (прямая ссылка):
Основные законы
На самых ранних этапах развития кристаллографии уже было установлено, что наиболее важной характеристикой внешней симметрии кристаллов в действительности является не сама форма, а скорее два явления, выраженные в двух правилах. Первое правило состоит в постоянстве углов между гранями кристаллов. Другое представляет собой закон кратных отрезков, или закон рациональных индексов.
Уже в 1669 г. датский кристаллограф Н. Стено провел детальное изучение идеальных и искаженных кристаллов кварца (рис. 9-4). Он начертил их на бумаге и нашел, что соответствующие углы между различными гранями были всегда одинаковы независимо от их действительных размеров и формы. Поэтому все кристаллы кварца, как бы ни были они искажены по сравнению с идеальной формой, могут быть получены в результате одного и того же основного способа роста и, таким образом, соответствовать одной и той же внутренней структуре.
Для измерения углов, образуемых гранями кристалла, были разработаны специальные приборы. Так, уже в 1780 г. использовался прикладной гониометр (рис. 9-5, а). Позднее для более точного измерения межгранных углов был сконструирован отражательный гониометр (рис. 9-5, б). Слово «гониометр» стало до такой степени синонимом
f
bkJd с
Рис. 9-4.
Сечения идеального и искаженных кристаллов кварца.
коллиматор
Рис. 9-5.
Гониометры: а прикладной Гаюи; б-отражательный.
Симметрия в кристаллах
407
определения строения кристалла, что иногда в разговорном языке этим словом называют современный рентгеновский дифрактометр.
Другое интересное явление, давно отмеченное для кристаллов,-их спайность. Характерно, что они раскалываются вдоль определенных плоскостей. Французский кристаллограф Гаюи заметил, что ромбы спайности любого кристалла кальцита всегда имели одни и те же межгранные углы. Поэтому он предположил, что все кристаллы кальцита могут быть построены из этих основных ромбов спайности. Эта мысль поясняется на рис. 9-6, который взят из книги Гаюи «Труды по кристаллографии». На самом деле эта мысль настолько фундаментальна, что редкие книги по кристаллографии появляются без воспроизведения этого рисунка. Из элементов, представленных на рис. 9-6, можно построить ребра под прямыми углами, что соответствует граням куба, а можно ребра располагать и под острыми углами, что отвечает граням октаэдра. Можно также располагать ребра наклонно по отношению к другим ребрам. Пусть размеры элементарной единицы спайности равны an b (рис. 9-7), тогда tg Oj = b/a, a tg 02 = b/2a и вообще tg 0 = mb/na, где m и //-рациональные целые числа. Если продолжить в третьем направлении, то мы получим отрезки а, Ь, с, отсекаемые гранью на соответствующих осях. Отрезки, отсекаемые любой другой гранью, должны быть пропорциональны этим отрезкам. Это и называют законом кратных отрезков.
Обычно грани кристаллов описывают обратными величинами кратных отношений стандартных отрезков; отсюда возникает другое название-закон рациональных индексов. На рис. 9-7 три линии, выбранные в качестве осей, могут быть также ребрами кристалла. Рассматриваемая грань ABC отсекает на этих осях отрезки а, Ь, с. Какая-то другая грань кристалла, например DEC, может быть описана через эти отрезки как а/п, Ь/к, с/1. Здесь h, к, /-простые целые числа или нуль. Их называют индексами Миллера. Отрезок бесконечен, если грань параллельна какой-то оси, тогда h, к или / соответственно будут равны нулю. Для ортогональных осей индексы граней куба-(ЮО), (010) и (001). Индексы грани DEC на рис. 9-7 равны (231).
В самом деле, простая теория спайности Гаюи вскрыла много важного в строении кристаллов. Однако в общем случае она не применима, так как раскалывание не всегда приводит к формам спайности, которые обязательно смогут заполнить все пространство при повторении. Как уже отмечалось в предыдущей главе, существует ограниченное число полиэдров, способных без остатка заполнить пространство.
Установление закономерностей во внешней форме кристаллов привело к признанию трехмерной периодичности в их внутренней структуре. Это было сделано задолго до того, как появилась возможность определения расположения атомов в кристаллах с помощью различных дифракционных методов.
Уже за 200 лет до Дальтона и за 300 лет до рентгеновской кристаллографии Кеплер обсуждал расположение атомов в кристаллах. В своей
Симметрия в кристаллах
4(19
С Е
Рис. 9-7.
Ребра, наклонные к единицам спайности, и демонстрация закона кратных отрезков.
работе «О шестиугольных снежинках» он предложил плотную упаковку шаров (рис. 9-8, а). Плотная упаковка пушечных ядер и скульптура, являющаяся ее выражением, показаны на рис. 9-8, бив. Основное значение идеи Кеплера состоит в том, что он впервые связал внешнюю форму твердого тела с его внутренним строением. Поиск Кеплера гармонических соотношений является мостом между его эпохальными открытиями небесной механики и менее известными, но тем не менее продуктивными идеями, которые теперь объединились в кристаллографию. Как пишет Шнеер [11], эпоха Ренессанса явилась стимулирующим фоном для заложения основ науки о кристаллах.
