Квантовая химия. Введение - Фларри Р.
Скачать (прямая ссылка):
а Отражение в плоскости симметрии
T Трехмерное представление точечной группы
f Оператор кинетической энергии
8 Угол вращения, в частности угол отклонения вектора от
положительной ОСИ Z
и Атомная базисная функция
V Возмущение
V Оператор потенциальной энергии
* Комплексно-сопряженная величина
~ Транспонированная матрица
f Сопряженно-транспонированная матрица
ф Прямая сумма
® Прямое (или внешнее) произведение
"с Множество, записанное слева от этого знака, содержится
в множестве, записанном справа от него
? Множество, записанное слева от этого знака, не содержится в множестве, записанном справа от него
(и) Дираковские скобки «бре» и «кет» соответственно
( ) Ожидаемое значение
Приложение 2 ВЕКТОРЫ, МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ
Векторы, матрицы и тензоры — это упорядоченные множества величин. Вектор является одномерным упорядоченным множеством, т. е. величиной, для описания которой необходим один индекс. Матрицы представляют собой двумерные множества, для упорядочения которых нужны два индекса. Наиболее общей упорядоченной величиной является тензор. Число индексов, необходимых для построения тензора, называется его рангом. Таким образом, вектор является тензором первого ранга, матрица— тензором второго ранга, а скаляр — тензором нулевого ранга.
Векторы чаще всего используются в трехмерном декартовом пространстве. Всякое свойство, характеризуемое не только величиной, но и направлением, есть векторная величина. Векторы в декартовом пространстве обычно представляют при помощи единичных ортов i, j и к координатных осей х, у и г. Произвольный вектор V можно записать в виде
Иначе говоря, i, j и к являются базисными векторами, из которых построен вектор v. Этот подход может быть обобщен на пространство произвольной размерности, если в нем определен соответствующий базисный набор векторов е,-; при этом
Вообще говоря, базис вовсе не должен быть набором векторов. Базисом может быть набор функций или любых других величин, при помощи которых должен конструироваться вектор. Например, денежная система США включает монеты шести типов: одноцентовая (пенни), пятицентовая (никель), десятицентовая (дайм, или десятицентовик), четверть доллара, полдоллара и доллар. Содержимое кошелька с мелочью можно представить как векторную величину, базисом которой является достоинство монет. Обозначим элементы этого базиса начальными буквами соответствующих (английских) названий монет: р, п, d, q, h и D. Если теперь содержимое кошелька обозначить символом с, то
V = а\ + b) + ск
(2.1)
v=Z lO-fii
(2.2)
404
Приложение 2
можно записать, например,
с = (5р + 2гс + 3d + 0<7 + 4/г + OD) (2.3)
Если определить р как $0,01, п как $0,05, ...,D как $1,00 и подставить эти обозначения в равенство (2.3), то найдем содержимое кошелька, выраженное в долларах: $2,45. Эта комбинация мелочи имеет такую же покупательную способность, как любая другая комбинация, дающая в сумме $2,45. Но указание, что вы располагаете суммой мелочи достоинством в $2,45, не дает сведений о том, из каких монет она состоит, а равенство (2.3) содержит эту информацию.
Сумма векторов, выраженных через один и тот же базис, получается просто сложением соответствующих компонент каждого вектора. Например, если к «денежному» вектору, описываемому выражением (2.3), добавить другой «денежный» вектор
с' = (Op + On + Od + 3<7 + Oh + 2D) (2.4)
то результат должен быть равен
с" = с + с' = (5р + 2п + 3d + 3<7 + 4h + 2D) (2.5)
Так принято описывать произвольную векторную величину. Но существует еще другой тип векторной суммы, называемый прямой суммой. Вектор с, представленный выражением (2.3), достаточно выразить только через базис {р, п, d, h), поскольку он не содержит ни четвертьдолларовых, ни долларовых компонент. Аналогично вектор с' [выражение (2.4)] достаточно выразить только через базис {q, D}. В таком случае вектор с" должен быть прямой суммой (обозначаемой символом Ф) векторов с и
с'. Это следует записать так:
с = (5р + 2п + 3d + Ah), <•'-• '¦Vi-: '.>/)) (2.3а, 2.4а) с" = с © с'
= [5р + 2п H 2d + 41, + 3q + 2D) (2.5а)
Отметим, что в такой сумме компоненты второго базиса записывают после компонент первого. Другими словами, обычная векторная сумма является суммой векторов, имеющих один и тот же базисный набор, а прямая сумма включает два взаимно исключающих базисных набора, но ее результат представлен в расширенном базисном наборе, содержащем базисы каждого из векторов суммы. В специальных целях иногда используются суммы, в которых имеет место частичное перекрывание базисных наборов. У нас не представится случая использовать их.
Векторы, матрицы и тензоры
405
Векторы чаще всего записывают просто как последовательности компонент, не указывая явно базис. Такую последовательность можно записывать как строку или как столбец. Если базис ортонормирован, то обе формы записи эквивалентны. В математике компоненты вектора принято записывать в строку, а базисный набор — в столбец.
