Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Фларри Р. -> "Квантовая химия. Введение" -> 144

Квантовая химия. Введение - Фларри Р.

Фларри Р. Квантовая химия. Введение — M.: Мир, 1985. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovaya-chimiya.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 167 >> Следующая


Если с — вектор-строка,

с = (5 2 3 0 4 0) (2.6)

ab — вектор-столбец базисных функций,

ь =

то выражение (2.3) представляет собой внутреннее произведение cb векторов с и Ь. Внутреннее произведение р является произведением вектор-строки а и вектор-столбца b одинаковой размерности, построенным следующим образом:

P=Z^A (2.8)

Если а и b — векторы, построенные на одном и том же ортонор-мированном базисном наборе, то внутреннее произведение образует скалярную величину и по этой причине часто называется скалярным произведением.

Второй тип произведения векторов называют по-разному: прямым, произведением, внешним произведением или тензорным произведением. Оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки и обычно обозначается как а ® b . Его результатом является матрица, или тензор второго ранга. Размерности перемножаемых векторов не обязательно должны быть одинаковыми. Если они неодинаковы, то результирующая матрица не является квадратной. Число ее строк соответствует размерности вектор-столбца, а число ее столбцов — размерности вектор-строки. Элементы этой матрицы равны

M11 = UIb1 (2.9)

Для их перечисления требуются два индекса. Внешнее произведение матрицы с вектором порождает тензор третьего ранга, элементы которого требуют трех индексов. Тензор четвертого ранга получается в результате внешнего произведения тензора третьего ранга и вектора либо как внешнее произведение двух

406

Приложение 2

матриц и т. д. Элементы результирующего тензора должны иметь соответствующее число индексов.

Прямая сумма двух матриц подобна прямой сумме двух векторов, и для ее обозначения используется тот же символ Ф. В такой сумме предполагается расширение базиса. При этом расширяется и размерность матрицы. Однако в данном случае предполагается, что новые элементы не зависят от остальных. Матричные элементы на строках одной матрицы и столбцах других матриц, и наоборот, обязательно равны нулю. Например, если имеются матрицы

M і

а Ъ с і е J д h I

M

(z.io, г.11)

то их прямой суммой М" является матрица

~а b с О О"

M" .

d в f О О

д h і О О

О 0 0 р q

О 0 0 г s

(2.12)

О матрице вида (2.12) говорят, что она имеет блок-диагональную форму. Она состоит из меньших матриц (блоков) вдоль главной диагонали и из нулей в остальной части. Всякую блок-диагональную матрицу можно представить как прямую сумму субматриц.

Помимо прямой суммы матриц существует еще простая сумма матриц с одинаковой размерностью. Это просто матрица, полученная суммированием эквивалентных элементов двух исходных матриц.

Детерминант тоже имеет вид упорядоченного двумерного множества второго ранга. Это множество должно быть квадратным; однако в данном случае смысл имеет не само это множество, а его разложение, выраженное через элементы множества. Наиболее прямой способ разложения детерминанта основан на использовании его алгебраических дополнений. Разложение детерминанта определяется формулой

/-і

1)'~1аиА

(2.13)

где ац — элементы одной строки, Ац — алгебраические дополнения этих элементов, а п — размерность детерминанта. Алгебраическое дополнение представляет собой детерминант, полученный при удалении из исходного детерминанта его г'-й строки и /-го

Векторы, матрицы и тензоры

407

столбца. Процесс разложения по алгебраическим дополнениям повторяется до тех пор, пока не останутся только детерминанты 2X2. Произвольный 2 X 2-детерминант А разлагается таким образом:

а Ь

A =

d

ad —be (2.14)

Всякая квадратная матрица имеет связанный с ней детерминант, но следует подчеркнуть, что это не одно и то же. При записи матриц и детерминантов в виде двумерных множеств чисел или элементов матрицы заключают в скобки, а детерминанты — в вертикальные линии.

Внутренние произведения двух матриц либо вектора и матрицы основаны на скалярных произведениях. Результат должен представлять собой матрицу или вектор, но каждый элемент этого результата является скалярным произведением. Если вектор стоит слева в произведении, то результатом последнего является вектор-строка. Если слева стоит матрица, то она рассматривается как столбец из вектор-строк. Вектор, стоящий в произведении справа, должен быть вектор-столбцом. Матрица, стоящая в произведении справа, рассматривается как строка из вектор-столбцов. Число столбцов у левого сомножителя должно совпадать с числом строк у правого. Результат произведения M = AB, состоящего из /гХр-матрицы А слева (п — число строк) и pXtfi-матрицы В справа, представляет собой «Xm-матрицу М, элементы которой определяются следующим образом:

M11^t AlkBkj (2.15)

где первый индекс нумерует строку, а второй — столбец. Вектор-строка представляет собой 1X р-матрицу, а вектор-столбец— pXl-матрицу. Таким образом, выражение (2.15) сводится к скалярному произведению двух векторов.

Матрицы часто используются для установления взаимосвязи между двумя векторами. Элементы матрицы позволяют указать соотношение между компонентами одного вектора и компонентами другого. Элементы матрицы требуют двух индексов, по одному от каждого вектора. Например, вектор
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed