Колебания и бегущие полны в химических системах - Филд Р.
Скачать (прямая ссылка):
псспы , пЛ СЯ Т0Ч,Ю' так как Ф(/) кусочно-линейна. Инте-нтрп«япР, Ультат™ этой Р-'боты является то, что обнаружены ли 3»а1'™ии величины /*, на которых сосуществуют два
шш больше периодических решения системы (4.27). Например, впо Sf1."3 РИС- 4ЛЗ> ПРИ /* = 1.5413 сосуществуют устойчи-! 1!' Д"ЧЄСКИЄ Решения, которые соответствуют трех- и четырехточечным отображениям.
Результаты, показанные на рис. 4.13, предсказывают, что в полной системе (4.26) должны существовать два устойчивых периодических решения, соответствующих режиму прерывистой ГІ.НпЖтг В работе [826^ численно найдено, что если л = — и,1Ш75, то в полной системе f*(r) = 1 5413 Кроме того, показано (рис. 4.10), что при такой величине г в системе (4.26) действительно сосуществуют устойчивые трех- и четырехточечные решения.
Ринцель и Трой [826] обнаружили, что число никои на одн, пачку увеличивается с ростом /*. Более того, когда /* ста но внтся большим, чем 1,5634, все периодические решения дл> отображения (4.30) становятся неустойчивыми. Поэтому в ук;: запной области, возможно, имеются апериодические или даже хаотические решения. Для того чтобы определить свойства этих решений и попять, насколько точно они соответствуют поведению решений непрерывной системы (4.26), необходимы далі, нейшие вычисления.
^'1С' 13. Дискретные устойчивые периодические решения, отвечающие о: отражению (4.30) при различных значениях [* — параметра, соответствуй-Чего скорости протока в ПРПП.
Значення параметров fv. fa, f& „ т такне же. как н на рис. 4.12. Л'-точечное дискретно.-Реіиение должно соответствовать Л'-нмиульсному периодическому решению в иепрерыин -одели (4..!b). Можно видеть, что Л' растет с f*.
4.6. Пространственная модель
Исходя из наличия возбудимости в реакции БЖ (разд. 4.4), Фн.'ід и Трой [304] исследовали пространственную модель в поисках существования одиночных бегущих волн. Напомним, что Шоуо.чтер и Нопес 1890] инициировали одиночную волну, прикладывая потенциал 2В к раствору, налитому тонким слоем в чашке Петри. В их опытах реакционная смесь оставалась возбудимой даже тогда, когда колебания были подавлены. Это значит, что в непосредственной близости от стимулирующего электрода происходит локальное истощение компонента (/(Br-) и увеличение A-(HBrO2). Если концентрация х превосходит величину порога, то она возрастает на пять порядков п быстро достигает «возбужденного состояния». Затем диффузия вызывает распространение х в соседние точки, что приводит к такому же возбуждению этих участков. Именно так образуется і! распространяется по среде волна химической реакции. В то же время за фронтом волны компонент х не может долго оставаться в возбужденном состоянии. Причина этого лежит в том, что химические реакции вызывают нарастание концентрации компонента 2(Ce1+). Достаточно большое увеличение г приводит к возвращению х к стационарному значению. Таким образом, можно видеть, как после прохождения голубой волны, исходящей от источника стимуляции, система вновь становится красной.
Поскольку, по-видимому, а- играет наиболее важную роль в формировании и распространении волны, Филд и Троп [304] добавили диффузионный член к уравнению для а- и рассмотрели модель
= s (у - XIj + х - qx*) + D^t ІН_ — - У —xtj +!г
at ;
дг
—. = w{x_z) (4з|)
r„f„°o>0 и —°° <?<<». Для простоты здесь рассматривается только одно пространственное измерение. Можно считать что система (4.31) моделирует распространение волн и длинном тонком (т. е. одномерном) капилляре.
4.6.1. Бегущие волны
При исследовании системы (4.31) на существование решений в виде бегущих волн предполагается, что х и и г являются функциями одной переменной г = Уа + ( Подстановка этой переменной в (4.31) даст систему обыкновенных днфференциаль-
ных уравнении первого порядка:
dx IiVn. ,
-JF =="' 'a^=--0[v-s(y~xy + x~qx1)]
dy _ - у - xij +Iz dz .
Ж--і-' St = W(X-Z) (4.32)
где B = a?/D. Напомним, что уравнения (4.9) имеют единственное стационарное решение (х0, у0, Z0) в положительном октанте пространства (х, у, г). Из этого следует, что система (4.32) имеет единственное физически осмысленное постоянное решение ло = (х0, 0, г/о, Z0). Для упрощения обозначений примем, что к(х) = (х(х), v(x), у (г), г(т)) является решением системы (4.31). Решение системы (4.32) в виде одиночной бегущей волны— это отличное от константы ограниченное решение л(т), удовлетворяющее условию Um я(т) = я0.
Х-*± ТО
Из разд. 4.4 мы помним, что существует интервал (/,, /2) г= Г5 (2,414, +°°), на котором система (4.9) не имеет периодических решений, по при этом остается возбудимой. В этом диапазоне параметров можно ожидать, что модель дает решения в виде одиночных бегущих воли. Филд и Трой [304] доказали следующее:
Теорема 1 (существование одиночных волн). Существует интервал (f3, ft) S (fi, f2) и для каждого / <г (/3, /4) существует Wj > 0, такое, что если 0 < w < Wj, то имеется по крайней мере одно значение 6*(f, w), при котором система (4.32) имеет отличное от константы я*(т) решение, удовлетворяющее соотношениям
