Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
ъ щ ¦»)« = с, 4 с„ + с t4 с, i + си Сц.
Д о к а з ате л ьство. Рассмотрим многомерную характеристическую функцию /ч (0=/fllW4 ('ь **. *.) =
=М exp|»(f, •»))}. Поскольку t) = А}, где ? — стандартный нормальный вектор, АА'=С, имеем:
U*)=f5M'f) = exp|--±- (А% Л'0} =
= ехр (5)
Очевидно,
М1»)! dtidttdtidu ^^^'«-'«-'.-<4-0” ^
Для вычисления (6) разложим (5) в точке t=0 в ряд Тейлора с учетом членов четвертой степени относительно U. (Члены более высокой степени при вычислении четвертой производной в точке t=0 будут давать нуль.) Имеем
М*>- 1 - т(С'*0 + т(а’ + • • • * (7)
206
Четвертая производная от первых двух членов выражения (7) в точке t=О равна нулю; следовательно,
| (CI, <)*!,_=
9 (С/, !)1<С«.. 0+<Cf.
4 д(г дг3 dtf
1 д3
2 dt2dt»di4
(Ct, <)(Celf *)Uo-
= T l2(Ce*- *>(Се** f) + (a* ,)(Cei- e*)b-o =
= -J-^-[2(Cet> ea)(Celt t) + 2(Cet, t)(Celt e3) +
I (ff|
-f- 2(Cet, t)(Celf e*)],„e = (Cet, et)(Celt et) -|-+ (Cet, c4XCc,, e3) + (Ce„ e4)(Celf e,) =
= Clt CJ* + C2« c19 *Ь C1J*
что и требовалось доказать (в этой выкладке ei—dt/dU — i-й базисный вектор).
Лемма 2. Пусть \(t) — вещественный гауссовский процесс со спектральной плотностью f(k). Тогда
/ , \
Доказательство. Заметим, что M I — |5(/)|*dt 1 = = Щ 0).
Вычислим (с помощью леммы 1) выражение
(т \* т т
JrjW* ) =^м \ Ui(s))'m)*dsdt =
О ) 0 0
т т
= JL f|(2В*(/-s) + B\0))dsdt = о о
т т
=?-JJ ?¦(/-*)*<«+*40).
207
Следовательно,
(т \ т т
-J j ШОР* J = ? | f BV - »>*<«.
Сделаем в двойном интеграле по квадрату [0, rjxfl), Г] замену переменных t—s=u, s=w. Тогда и изменяется от (—Т) до Т, а при данном и переменная s=w изменяется от lul до Т—|и|. Поэтому
D^jr115(01*| 52<“)- 2l“l)da =
=4 | B'{u)(\-2fyu - B'(u)du + o{ 1)
= т(! ТОЛ + °(1))
(последнее в силу равенства Парсеваля). Лемма доказана.
Применим лемму 2 к процессу 17(f) со спектральной плотностью |<р(Х) |2/(>•). Получим, что дисперсия а* оценки . г
Цт = — j М*)1*Л примерно дается формулой
ео
Mwmdi. (8)
Если функция |<р(Х)|* похожа на [б(Х—Х0)+6(—X—Х0)]/2 (при вещественной функции К(и) функция <р(Х) должна
удовлетворять соотношению <р(—Х)=<р(х)), то из (8) получаем, что (в силу соотношения /(—Х0) = /(Х0))
ГТ ( “ \1/2
V F №•> I S Мх)14<*4 •
Таким образом, коэффициент вариации оценки спектральной плотности (т. е. отношение среднеквадратичного уклонения к математическому ожиданию) равен
|*)|.А) . При сужении |«р(Х)|* к симметричной
208
d-функции коэффициент вариации возрастает, так как растет интеграл от |ф(>)|4. Если при этом выбрать Т побольше, то этот коэффициент все же будет мал. Целесообразно рассматривать логарифмы оценок спектральной плотности: у них будет известен не коэффициент вариации, а дисперсия.
Действительно, если случайная величина ? представима в виде ? = а + 6, где У^Е/а (т. е. коэффициент вариации 1) невелик, то тогда для типичного б и отношение (6|/а невелико. Следовательно,
log S = log(a + б) = log а + log(l + б la) лг = log а + б/е,
причем дисперсия D(6/a)=D6/a2 равна квадрату коэффициента вариации. Поэтому разброс эмпирических оценок спектральной плотности обычно исследуют в логарифмическом масштабе.
В заключение рассмотрим пример. Пусть мы хотим оценить спектральную плотность с помощью полосового фильтра с шириной полосы 1 герц=2л1/с=Д с коэффициентом вариации оценки 5%. Спрашивается, какой (временной) длины нужна для этого реализация процесса?
Полосовой фильтр означает набор фильтров со спектральными характеристиками фа(Х),_ устроенными следующим образом. При А=0 ф0(Х) = 1/УЛ при |А,|<Д/2, фо^Х) = =0 при Ш>Д/2; при k=?0, k=l, 2, ... ф*(Х) = 1/ДУ2 при IX—?Д|<Д/2 и при |А,+ЛД|<Д/2 (фЛ(Я,)=0 прн остальных
А).
Оценим сначала время установления. Имеем (при кфО; случай k = 0 аналогичен):
Наибольшее ^.иачение К*/и достигается при и = 0 и составляет \/^V 2. Если мы пожелаем отбросить такие и, при которых Кк(и) составляет менее 0,01 от своего значения в нуле, то (заменяя косинус и синус единицей) получим достаточное условие:
ос
ЛД+Д/J
cosXu —= Д^2
ЛД-Д/2
sin а(&Д-4-А/2)—sinм(ЛгД—Д/2)
