Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
216
В настоящее время известно много случаев, когда модель цепи Маркова применяется для статистического описания различных явлений (вроде поведения крысы при обучении преодолению лабиринта). Как чередование букв в тексте, так и поведение крысы в лабиринте представляют собой весьма сложные явления, на поверхности которых наблюдаются случайные закономерности, неплохо следующие простым вероятностным моделям (в данном случае — моделям цепей Маркова). Для каких-то практических целей эти модели могут быть и адекватными: если, например, мы не собираемся понимать «Евгения Онегина», а хотим лишь передать текст поэмы по телеграфу и решаем, как бы лучше выбрать кодирование (может быть, лучше кодировать не отдельные буквы, а, скажем, их пары и т. д.). Но предвидеть на основании статистических применений концепции цепи Маркова, что эта концепция может иметь важное физическое значение, пожалуй, невозможно. Сам А. А. Марков (насколько можно судить на основании его частично опубликованной переписки) скептически относился к физическим приложениям, в которых (как теперь ясно) независимо от работ А. А. Маркова возникла эквивалентная концепция. (Дело в том, что А. А. Марков ограничивал свои интересы достаточно строгими в математическом отношении работами. Он уличал в математических ошибках С. В. Ковалевскую, К. Пирсона и других; эти уличения формально справедливы, но не имеют той важности, с которой к ним относился А. А. Марков.)
Короче говоря, физическое значение цепей Маркова было понято на несколько лет позже — в связи с работами ряда физиков и математиков по теории броуновского движения и диффузии. В настоящее время физический смысл марковских цепей мыслится еще проще и шире, с чем мы и познакомимся.
1.2. Физический смысл цепей Маркова. Сначала посмотрим. как можно моделировать цепь Маркова методом Монте-Карло. Пусть датчик случайных чисел выдает последовательность lo.li.......in • • • . которую мы считаем последова-
тельностью независимых случайных величин, каждая из которых равномерно распределена на отрезке [0, 1]. Для начала моделируем начальное распределение точки а'(0) по состояниям 1, 2......N. Для этого разделим отрезок [0, 1] на
п
отрезки А\ ..., А* длиной яь ... , пц, 2 я>¦ = 1, и поло-
/-1
жим х(0)=/, если |о попадает в /-й маленький отрезок А/ длиной л> Если мы введем функцию fo(x) таким образом, что f0(x)=ij, если x^Aj, то можно положить, что х (0) =fo(lo), и тогда будет автоматически соблюдаться соотношение
Р{*(0 )=}} = щ, j=l,...,N.
217
Пусть переход из х(0) в х('1) управляется вероятностями рц{0). Если х(0) =i, то х(1) ='/ с вероятностью рц{0)\ таким образом, при каждом t этот переход можно моделировать, взяв функцию fi(i, ?i), такую, что мера множества таких точек, хе[0, 1], что f\(i, x)=j равна рц{0). Иначе говоря, можно положить x(l)=/i(i, h), причем автоматически соблюдается соотношение
Р{* (i) —//* (0) — »>—Р</ (0) •
Аналогично можно положить
x(n)=fn(x(n- 1),Ы (1)
так, чтобы соблюдалось соотношение
Р{х(п) = }/х(П—\) = I} = Pij(ft—\).
При фиксированных х(0), ... , х(п—1) соотношение (1) определяет х(п) как функцию от х(п—1) и от новой случайной величины |п. ранее (при меньших п) в рекуррентном соотношении вида (1) не фигурировавшей; не зависящей, следовательно, от х(0) ... , х(п—1) (так как функции от независимых случайных величин независимы). Это значит, что при фиксированном настоящем x(rt—1) прошлое х(0), х(1), ... , х(п—2) и будущее х(п) независимы.
Таким образом, эквивалентным определением марковской цепи является следующее: марковская цепь есть последовательность х(п), задаваемая формулой (1) при п>0 и формулой х(0) =/о(Ы. где to. Si, . 1». •• • есть последовательность независимых случайных величин.
В физических приложениях марковские цепи возникают, как правило, в виде (1). Конечно, фазовое пространство при этом не бывает конечным {1, ... , N}, а представляет собой фазовое пространство X некоторой динамической системы. Пусть, для определенности, эта система имеет вид
х. 6(0), *(0)-*«. (2)
где s(0 — некоторый случайный процесс.
Для концепции случайного процесса характерно, прежде всего, представление о том, что значения процесса, разделенные достаточно большим промежутком времени, представляются нам никак не связанными. В математике отсутствие связи понимается как статистическая независимость; следовательно, речь должна идти о каком-то стремлении к независимости для событий, связанных с поведением реализаций процесса l(t) на достаточно далеких интервалах времени. Математические формы такого «стремления к независимости» вы-
218
работаны (даже в слишком большом числе вариантов), но с практической точки зрения они не вполне удачны. Например, если %(t) — стационарный процесс с ограниченным спектром (это означает, что спектральная плотность тождественно равна нулю вне некоторого интервала частот), то реализации процесса аналитичны; следовательно, по значениям реализации ?(() на любом (сколь угодно малом) интервале времени мы можем точно определить ее значения на любом другом (сколь угодно далеком) интервале времени. Поэтому о потере зависимости (в смысле любого математического определения ) не может быть речи. Настаивать же на том, что мы всегда имеем дело именно со стационарным процессом, но обязательно с неограниченным спектром частот, неудобно в связи с представлением о частотных фильтрах: фильтр ведь срезает те или иные частоты. Фактически речь идет, по-видимому, о том, что на небольших интервалах времени | (О — стационарный процесс, а на больших интервалах времени происходят некие дополнительные вмешательства, приводящие к исчезновению статистической зависимости.
