Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 88

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 161 >> Следующая

Эта ситуация несколько грубовато охватывается следующей моделью случайного процесса с обновлением. Будем считать. что имеются моменты времени 0=/0<Л< • • <<п< • • (может быть, случайные), такие, что в эти моменты одна реализация случайного процесса заменяется на другую, статистически независимую:
W)=U(t) при (2)
где !:(/), 5г(0> ••• —независимые реализации одного и того же случайного процесса. Рассмотрим динамическую систему
(2) . в моменты времени t0, tit ... , ... : положим хп =
=х(:„). Поскольку на интервале времени [fn-i, ?п] система уравнений (2) решается однозначно, получим
= x(tn) = f ?n)> (3)
где через F"~i(*n-t, 1Л) обозначено решение системы (2) с начальным условием лг(*„_|) = x„-i на отрезке [*n-i. /„!• Правая часть (3) представляет собой некий функционал от значений = En(f), /„_! ^ t < tn. Поскольку (3) совершенно аналогично (2), то ясно, что последовательность {*„, п = О, 1,. . .} должна быть цепью Маркова, если, конечно, удастся создать концепцию цепи Маркова с произвольным фазовым пространством (это вполне возможно).
Конечно, чтобы получить цепь Маркова, мы должны взять моменты 0 = t0 < t\ < ... < tn < ... достаточно редко (чтобы интервалы между этими моментами были много больше, чем «время корреляции», т. е. время, на котором еще заметна зависимость между значениями процесса 1(0). Это нас не всегда устраивает. Но во многих случаях этого впол-
219
не достаточно. Например, если процесс |(t) представляет собой малое возмущение, то в промежутках между моментами to, t..... tn, ... динамическая система почти точно описы-
вается невозмущенным уравнением, и вполне достаточно рассматривать ее в редкие моменты времени.
С другой стороны, если процесс g(f) не мал, но коротко коррелирован («белый шум»), то интервалы между моментами t«, tu ... , ... можно делать малыми (они будут все
равно много больше времени корреляции процесса !(/)), н мы получим марковскую цепь с очень частыми скачками. Такая цепь напоминает уже рассмотренный винеровский процесс, и мы в дальнейшем рассмотрим соответствующую предельную теорему.
Рассмотрим математическую концепцию марковского процесса, в котором время может принимать заданные значения ta, #1, ... , tn, ••• либо произвольные (неотрицательные) значения, а фазовое пространство — достаточно произвольно. Пусть X — произвольное измеримое пространство. (Это означает, что выделена некоторая о-алгебра подмножеств Х\ в случае достаточно простого X — прямой, евклидова пространства, какого-то многообразия в евклидовом пространстве — она совпадает с о-алгеброй борелевских подмножеств). Пусть я — некоторая мера на X (начальное распределение). Время t пусть изменяется на полупрямой [0, оо]. Для любых моментов s<t пусть задана так называемая переходная вероятность (или переходная функция) Р' (х, Г), вероятностный смысл которой состоит в следующем: это вероятность того, что блуждающая частица, находясь в момент s в точке х, попадает в момент t>s в множество ГеХ. Переходная вероятность как функция х при фиксированном измеримом Г:=Х должна быть измеримой функцией; а при фиксированном х^Х как функция ГеХ должна быть вероятностной мерзй.
Замечание. Если речь идет о динамической системе, задаваемой соотношениями (2) и (3), то переходную вероятность надлежит подсчитать (зная вероятностные характеристики случайного процесса g(/)). Вообще говоря, это весьма трудная задача, но в дальнейшем увидим, что во многих случаях достаточно ограничиться весьма грубым приближенным подсчетом.
Вернемся к общей концепции. Предполагается, что выполнено следующее равенство (называемое равенством Чепмена—Колмогорове{): при s</<u
Ри{х, Г) = f Р'М, dy)P»(y, Г). (4)
х
Равенство (4) представляет собой интеграл Лебега от измеримой функции Р“(у, Г) как функции от у по мере, ла-220
даваемой переходной функцией Pj(jc, Г) как функцией от Г. Его вероятностный смысл состоит в том, что для того, чтобы попасть за время от s до и в множество Г, надо за время s до попасть из точки х в какую-нибудь точку уеХ, а затем за время от t до и попасть из у в Г.
Определение марковского процесса x(t) на Т = [0, оо) с начальным распределением к и переходной вероятностью Ps(x, Г) состоит в указании соответствующих конечномерных распределений. Правило состоит в следующем: если дан набор моментов времени, то сначала этот набор следует упорядочить и добавить к нему момент * = 0, если этого момента не было в наборе. Далее, конечномерное распределение, т. е. вероятность P{(*(<i),. . *(/п))еВ},
B<^Rn, достаточно задать на „параллелепипедах*1 В = =Вхх . . .ХВп, fl/Qfl1. Положим, по определению, для набора 0 = < tz < . . . < tn
Pv,...r„(Bi X Вг x..-Х Вп) = Р{*(*,) е Ви
x(ti)^B2,.’., x(tn) (Е= Вп) = f j* ... J d*2)...
Bi Bt Bn_x
... />'"-* (JC„_2, dXn-CiP1; (xn-\, Г). (5)
'n-2 <n-l
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed