Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 89

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 161 >> Следующая

Входящие в (5) интегралы понимаются в следующем смысле. Сначала берется интеграл измеримой функции Р " (xn-i,
(п—1
Г) от х„_1 е Bn-i по мере Рп~* (хп-2, •). Получается из-
1п-2
меримая функция от хп-г. От нее берется следующий интеграл и т. д.
Чтобы свойство (5) задавало конечномерные распределения, должны выполняться условия согласованности. Условие, относящееся к перестановке моментов времени, выполняется автоматически, так как моменты времени, по определению, сначала упорядочиваются. Нужно проверить лишь условие, относящееся к добавлению моментов времени. Достаточно разобрать случай добавления одного момента времени. Пусть к моментам добавлен '.момент t\ tk<t'<tk+i. Тогда
в правой части (5) возникает сомножитель
Р^хь, dx')Pt*+l(x't dxk+i),
причем по переменному х' интегрирование будет по множеству В' =¦ X. При последовательном выполнении интегрирований в (5), как указано выше, на этот сомножитель
221
надвинется некая ограниченная измеримая функция g(x*+1),. которая без добавления момента V надвинулась бы на
сомножитель P*+i(xh, dxk+i). Иными словами, нужно до-казать, что
j J Р>'л(хк, dx')p‘*+> (х', dxk+l)g(xk+l) =
B*+l
= J *flk+i(?k.dx*+t)t(xH. ,). (6)
B*+i *
Но если g(Xh+1) = Ir(Xh+i), то (6) есть уравнение Чепмена — Колмогорова (5). Левая и правая части (6) суть линейные функционалы от функции g. Следовательно, (6) верно и. для линейных комбинаций индикаторов, но тогда (в силу предельного перехода) и для любой ограниченной измеримой g. Согласованность конечномерных распределений (5) доказана.
Мы не будем особенно вдаваться в формулировку марковского свойства в терминах условных вероятностей (в качестве варианта условной вероятности для xt при условии, что х(Х)=*. s<.t, можно, конечно, взять Р' (х, Г)). Нам потребуется лишь тот факт, что при s<t
M{/(*(0)Hs) = х\ =j Р[(х, dy)f(y). (7)
Докажем (7). Полагая g(x) = | Pf5{x, dy)f(y), мы должны
х
проверить для функции g(x(s)) измеримость относительно о-алгебры, порождаемой случайной величиной x(s) (что очевидно), и интегральное тождество
M(/Ag(x(s)))=M(JAf(x(t))), (8)
где А — подмножество в пространстве функций, выделяемое условием
А = {x(t): xfsjefl}, В=Х.
Распределение вероятностей для x(s) есть, согласно (5), мера я*, определяемая формулой
",(Г) = f -(dx)Po(x, Г).
х
Следовательно,
M(/„gMs))) = M{lBlx(s))g(x(s))} = \g(x)zs(dx).
в
С другой стороны, согласно (5), совместное распределение x(s) и x(t) задается формулой
222
Р{х(») е с, x(t) е D) = J -s(dx)P't(x, D).
с
Поэтому
M(/J(*(0)) = Щ1вШ)Пхт = f K(d*)/*<*, dy)f(y) -
В X
= $g(xK(dx), в
что и доказывает (8).
§ 2. Конечные марковские цепи
2.1. Спектр матрицы переходных вероятностей. В этом параграфе рассматриваем конечные однородные марковские цепи, т. е. цепи с конечным фазовым пространством Х= {1,..., ..., N), временем п, принимающим целые неотрицательные значения 0, 1, 2, .... и не зависящими от времени вероятностями перехода
ри = Р {х(п) = j / х(п— 1) = О,
образующими переходную матрицу Р= Пр,Д i, /= 1, ... , N. Такие объекты можно нарисовать, изобразив на чертеже N точек, попарно соединив их стрелочками и написав возле стрелочки, ведущей из i в / переходную вероятность рц (случай i=j не исключается). При попытке нарисовать такой чертеж всякий поймет, что изучаемый объект является весьма сложным. В направлении стрелочек возможны самые разнообразные движения, вроде хождения по кругам, которое иногда прерывается перескоком с одних кругов в другие, и т. д. Наука в состоянии изучить свойства этого объекта лишь частично, ориентируясь на самые грубые характеристики движения, выявляемые при п-»-оо.
Формула (2) п. 1.1 предыдущего параграфа (при p,j(k) = =pij, k=0, 1, ... ) определяет вероятности элементарных событий, описывающих блуждание до момента времени п включительно. Она, очевидно, является частным случаем формулы (5) п. 1.2, а следовательно, задает систему согласованных конечномерных распределений. Нам будет чрезвычайно полезно (для решения некоторых чисто аналитических вопросов) рассматривать марковскую цепь для бесконечного числа моментов времени, что можно делать в силу теоремы Колмогорова о продолжении меры. События типа «частица когда-нибудь попадет в заданное подмножество множества состояний», очевидно, входят в соответствующую о-алгебру (так как являются счетным объединением по п событий «частица попадает в заданное подмножество за время от 0 до п»).
223
Пусть л=л (0) = (jii........пы) — начальное распределе-
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed