Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
fi, /O'2
0,1 0,5.
Рис. 11.20. Границы области существования единственного устойчивого предельного цикла, определяющего единственную стационарную точ-
Рис. 11.21. Параметрический портрет реакции с субстратным и продуктным угнетением; поясне-
ния в тексте
ку реакции с субстратным и продуктным угнетением при различных значениях ц: 1 — ц = 0; 2—ц = 0,006;
3 — ц = 0,05; о=1; ао=10
циклов на фазовой плоскости системы (II.2—11) с субстратным и продуктным . угнетением. При этом найдены области значений параметров $j, 02, определяющих скорость притока субстрата и расхода продукта соответственно, при которых система (II.2—11) имеет единственное стационарное состояние на неустойчивой ветви АВ квазистационарной кривой. Границы этих областей получены путем численного решения уравнений, определяющих условие расположения единственного стационарного состояния системы (II.2—И) между двумя критическими точками (экстремумами) кривой (11.2—13). Границы области существования единственного устойчивого предельного цикла, окружающего единственную неустойчивую стационарную точку, можно найти из условия равенства -нулю действительной части корней характеристического уравнения системы (11.2—11—II.2—126). Результаты численного решения системы уравнений, определяющих это условие при различных значениях параметра |л, представлены на рис. 11.20. Видно, что с увеличением глубины продуктного угнетения (ц-»-1) область существования единственного устойчивого предельного цикла, окружающего единственную неустойчивую стационарную точку, уменьшается и при некотором критическом значении |л стягивается в точку.
В том случае, если реализуются три стационарные состояния, одно из них обязательно седло и поэтому всегда неустойчиво. Два других могут иметь характер устойчивого узла или фокуса либо неустойчивого узла или фокуса. В том случае, когда два из трех стационарных состояний устойчивы, система (II.2—11) является триггером.
При определенных значениях параметров системы (II.2—11), в частности, в случае, когда скорость притока субстрата равна
скорости утилизации продукта |$i = pP2 или &+i — k+% в системе су-.ществует одно-единственное устойчивое положение равновесия. В этом случае система (11.2—11) абсолютно устойчива, и возникновение автоколебаний невозможно, так как для существования предельного цикла необходимо наличие неустойчивых положений равновесия.
Анализ корней характеристического уравнения системы (11.2—11) и построение бифуркационной диаграммы показывают, что области неустойчивости рассматриваемой системы лежат в пространстве ее параметров выше прямой Pi —ц'Рг- Это означает, что необходимым условием существования предельного цикла в системе (II.2—11) является преобладание константы скорости притока субстрата над константой скорости утилизации продукта:
Э1>|лЭ2 ИЛИ k+i>k+2.
На рис. 11.21 представлен параметрический портрет рассматриваемой реакции. Область 1 соответствует описанному выше режиму. В области 2 существуют три неустойчивых стационарных состояния, одно, из которых всегда седло, а два других могут быть узлом или фокусом. В этой области возможен либо один устойчивый предельный цикл, окружающий все три стационарных состояния, либо два устойчивых предельных цикла, окружающих два стационарных состояния, разделенных седлом. В областях 3 и 4 имеются три стационарных состояния, из которых одно всегда седло, другое — неустойчивый фокус или узел. В этих областях существует один устойчивый предельный цикл. Область 5 соответствует триггерному режиму реакции. В областях 6 и 7 в реакции возможно единственное устойчивое стационарное состояние с соответственно высокой (обл.6) или низкой (обл.7) стационарной скоростью реакции.
Итак, авторы цитированных выше работ рассмотрели различные динамические режимы, в которых может функционировать открытая ферментативная система с субстратным и продуктным угнетением. Оказалось, что среди возможных режимов довольно значительную область в пространстве параметров занимают автоколебания концентраций реагентов. Область неустойчивости системы тем шире (соответственно условия возникновения автоколебаний удовлетворяются тем легче), чем сильнее выражено субстратное угнетение и чем меньше глубина продуктного угнетения (т. е. чем меньше сродство продукта к ферменту по сравнению со сродством субстрата к фердаеиту).
Основные свойства кинетики рассматриваемой необратимой ферментативной реакции — множественность стационарных состояний, гистерезис и автоколебания — являются прямым следствием сильной нелинейности, обусловленной совместным действием субстратного и продуктного угнетения. Поскольку комбинированное угнетение ферментов субстратами и продуктами реакции — явление весьма распространенное, сформулированная выше мате-
матическая модель может быть использована для объяснения нередко наблюдаемых незатухающих концентрационных колебаний; в реальных биохимических процессах.
Заметим, что механизмы продуктного угнетения (в отличие от продуктной активации!) скорости ферментативной реакции сами по себе не дают незатухающих колебательных режимов, поскольку гистерезис квазистационарной выходной характеристики \>(ст, р), необходимый для существования автоколебаний, возможен только при наличии субстратного угнетения. С другой стороны, взятый в отдельности механизм субстратного угнетения в необратимых ферментативных реакциях является отнюдь не автоколебательным. Напротив, в обратимых реакциях, или в более сложных системах реакций (например, в циклических превращениях субстратов в клеточном метаболизме), этот тип регулирования активности ферментов является фактором, обусловливающим самые разнообразные динамические режимы.
