Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следующая теорема говорит о важном отношении между понятием непрерывности и понятием открытого множества.
Мы предлагаем читателям доказать эту теорему самостоятельно в качестве упражнения.
Теорема 2.3
Если функция f непрерывна, и Q—произвольное открытое подмножество множества значений /, то f~’(Q) является открытым подмножеством области задания f. Обратно, если функция / такова, что для любого открытого подмножества Q множества значений f подмножество f~'(Q) области задания f открыто, то / непрерывна.
Упражнение
Останется ли этг. „'еорема справедливой, если в ее формулировке всюду заменить «открытые множества» на «замкнутые множества»?
Прежде чем перейти к конкретным проблемам, введем еще одно понятие. Множество вещественных чисел, которое одновременно и замкнуто и ограничено, называется компактным. Связь между компактностью и непрерывностью на вещественной прямой выражается следующей теоремой:
Теорема 2.4
Если функция / непрерывна и S — компактное подмножество области задания f, то множество f(S) компактно (т. е. непрерывный образ компактного множества компактен).
Доказательство
Доказательство этого утверждения распадается естественным образом на две части.
1. Образ f(S) ограничен.
Допустим противное. Тогда в f(S) можно найти последовательность точек уI, г/2,..., Уп... такую, что \уп\>п для
каждого целого п. При этом должна также существовать последовательность Х\, Х2,..., хп,... элементов из S, такая, что yn = f(x„) для каждого п. Поскольку 5 компактно, т. е. ограничено и замкнуто, точная верхняя грань х0 множества чисел Х\, Х2,.. ¦, хп,... существует и принадлежит S, и из определения точной верхней грани отсюда сейчас же следует, что найдется некоторая подпоследовательность хПу х„2,..., хП/!, . . . , такая, что расстояние \хП/г—дго I стремится к нулю при k->oo. Так как Xo€S, то f(*o)€f(S). Вследствие непрерывности для любого произвольно заданного е>0 существует такое б>0, что
из | хч — х01 < 5 следует, что | / (х„л) — / (х0) | < в.
Но f(xо) —это некоторое фиксированное число, а из сделанного предположения следует, что последовательность чисел f(x„А) неограниченно возрастает, и мы приходим, таким образом, к противоречию, из которого и следует справедливость первой части нашего доказательства.
2. Образ f(S) замкнут.
Опять-таки допустим противное. Тогда найдется подмножество Т с: f(S), такое, что либо точная верхняя грань Т, либо точная нижняя грань Т (либо обе вместе) не являются элементами f(S). Мы можем, не ограничивая общности, допустить, что точная верхняя грань Т, равная, скажем, у0, не принадлежит множеству f(S). Определение точной верхней грани указывает, что для всякого е>0 должен существовать элемент у 6 Г, такой, что у>уо—е. Таким образом, всякий открытый промежуток, симметричный относительно у0, должен содержать некоторый элемент из Т. В частности, для любого целого числа п можно указать некоторый элемент уп 6 Т, такой, что | уп —
—i/o! < тр Совокупность всех таких yi образует в Т некоторое
подмножество. Мы видим далее, чтс должна также существовать последовательность чисел Х\, х%,..., хп, ¦ ¦,, из множества
S, такая, что yn = f(xn) при каждом п. Из ограниченности S вытекает ограниченность множества чисел хп, которое обладает поэтому точной верхней гранью хо, и эта точная верхняя грань ввиду замкнутости S должна принадлежать S. Из последовательности х\, х% ..., хп,... можно выбрать некоторую подпоследовательность хп, , хПп,. -хп.,..., такую, что limxn=^o-
1 2 й к-«-со *
И так как функция / непрерывна, отсюда следует, что \f(xn/t)~ —f(xо) |-»-0 при &-»-оо. Кроме того, по построению lim'|f(xn ) —
ft-* СО '* *
—г/оI = 0. Таким образом, f(x0)—yo- Но тогда из того, что х0 6 S, следует, что уо ?f(S), что противоречит сделанному предположению, и это полностью завершает доказательство теоремы.
Эта доказанная нами простая теорема играет центральную роль в математической теории, связанной с решением оптимальных задач. Во многих случаях она гарантирует существование решений таких задач. Встречается также ряд важных случаев, когда эту теорему применить нельзя, и в этом состоят основные трудности изучаемой нами теории. Мы увидим в разд. 2.8, что определение компактности, которое было дано выше, применимо лишь к тем ситуациям, которые в определенном смысле конечномерны; этот способ определения компакт-
ности непосредственно не обобщается на более широкий класс проблем, когда приходится рассматривать бесконечномерные пространства. Понятие компактности должно быть для подобных случаев определено другим, более общим способом (|см., например, [18]). Теорема 2.4 остается справедливой и в этом более общем случае, но приведенный ранее способ ее доказательства уже оказывается неприменимым. В некоторых задачах приходится рассматривать такие бесконечномерные пространства, которые не являются локально компактными (т. е. в них могут быть элементы, не имеющие компактной окрестности), и тогда теорема 2.4 не может быть использована для решения задачи об оптимизации.
