Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 9

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая

структур, и, следовательно, о сильном давлении отбора; если минимум достигается на многих структурах, то это указывает на слабое давление отбора и высокую степень полиморфизма. Важно заметить, что все эти экологические правила непосредственно устанавливаются как следствия принципа оптимальности и что такие задачи могут быть математически четко сформулированы и исследованы, причем это дает возможность получить точную информацию также в отдельных частных случаях.
Глава 2
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
2.1. Введение
В предыдущей главе было показано, что при нахождении оптимального решения некоторой задачи требуется соблюдение следующих трех условий: а) должен быть определен класс всех допустимых решений задачи; б) каждому такому решению должно быть отнесено определенное число, выражающее соответствующую цену; в) в множестве всех цен должна быть найдена наименьшая. Начиная с гл. 3, мы будем рассматривать первые два условия, которые в основном связаны с областью естественных наук, а данную главу посвятим третьему условию, представляющему собой чисто математическую задачу.
В условии «в» самое сложное понятие связано с термином «наименьший». Приступить к формулировке любой задачи об оптимизации можно лишь в том случае, если мы располагаем способом, позволяющим сравнивать цены, соответствующие любым двум потенциально возможным решениям, и определять, какая из этих цен больше и какая меньше. С математической точки зрения это означает, что множество рассматриваемых цен должно быть линейно упорядочено. Если цены, как это обычно имеет место, выражаются вещественными числами, то это требование выполняется автоматически; для любой заданной пары различных вещественных чисел а, Ь всегда либо а<Ь, либо Ь<.а. Последнее представляется настолько очевидным, что на первый взгляд вряд ли стоит об этом говорить так подробно; тем не менее, как будет показано далее, это положение создает основу всего математического аппарата решения задач на отыскание минимума. Итак, изучение условия «в» следует начать с обсуждения понятия отношения порядка в множестве вещественных чисел и некоторых модификаций этого понятия.
2.2. Отношение порядка в множестве вещественных чисел
Пусть R — множество вещественных чисел; условимся обозначать обычное отношение порядка для элементов этого множества известным символом < или более общим символом ^.
Если 5 — некоторое множество вещественных чисел, то говорят, что оно ограничено сверху, если найдется такое вещественное число М, что для любого х ? S выполняется неравенство Аналогично множество S называется ограничен-
ным снизу, если существует такое вещественное число L, что L^x для всякого x?S. Числа М и L, обладающие указанными выше свойствами, называются соответственно верхней и нижней гранями 5. Множество S, обладающее и верхней и нижней гранями, называется ограниченным.
Пусть 5 — некоторое ограниченное сверху множество. Допустим, что среди всевозможных верхних граней S имеется некоторая верхняя грань Мо, которая обладает следующим свойством: для любого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа е>0 всегда найдется такой элемент что Мо—в<х. Такая верхняя грань называется точной верхней гранью S. Точно так же нижняя грань L0 является точной нижней гранью ограниченного снизу множества S, если для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 найдется такой элемент х 6 S, что x<L0 + e '.
Упражнение
Докажите, что ограниченное множество S не может иметь более одной точной верхней грани и более одной точной нижней грани.
Теперь возникает такой вопрос: можно ли утверждать, что всякое ограниченное множество чисел обладает точной верхней и точной нижней гранями? Ответ на этот вопрос для нас чрезвычайно важен, потому что если данное множество цен не имеет точной нижней грани, то оптимальное решение рассматриваемой задачи, очевидно, не существует, поскольку, какое бы решение мы ни взяли, всегда в этом случае найдется другое решение с меньшей ценой. Этот вопрос интересен и с чисто математической точки зрения, так как он связан с рядом других важных идей.
Возьмем теперь такой пример. Предположим, что в некоторой задаче приходится иметь дело только с множеством R рациональных чисел (например, пусть в рассматриваемой оптимальной задаче встречаются^ лишь такие цены, которые выражаются числами вида а/b, где а и Ь — целые числа). Нетрудно в этом случае построить ограниченное сверху множество рациональных чисел, у которого нет рациональной точной
1 Отметим, что приведенные здесь определения точной верхней и точной нижней граней эквивалентны указаниям на то, что точная верхняя грань — это наименьшая из всех верхних граней, а точная нижняя грань — наибольшая нз всех нижних граней —Прим. перев.
верхней грани. Так, например, последовательность рациональных чисел
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421...
обладает тем свойством, что квадраты ее элементов все более и более точно приближаются к числу 2 (члены этой последовательности представляют собой не что иное, как последовательные приближения, образующиеся при разложении числа У2 в бесконечную десятичную дробь). Но, как хорошо известно, не существует рационального числа х, такого, что х2 = 2, и поэтому нетрудно убедиться в том, что какую бы рациональную верхнюю грань М множества, состоящего из членов приведенной выше последовательности, мы ни взяли, всегда найдется другая рациональная верхняя грань, меньшая, чем М.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed