Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что А и В не могут быть одновременно пустыми, за исключением того случая, когда само Т пусто. В последнем случае множество S содержит все вещественные числа, и утверждение теоремы становится тривиальным.
Допустим теперь, не ограничивая общности, что А непусто. Тогда х, согласно определению, есть верхняя грань Л. В то же время, однако, х не может быть точной верхней гранью А. В самом деле, поскольку множество Т в соответствии со сделанными предположениями замкнуто и А служит подмножеством Т, из допущения, что х — точная верхняя грань А, следовало бы, согласно определению замкнутого множества, что х?Т, а это противоречит тому, что x€S, так как S и Т не имеют общих элементов. В то же время у А имеется точная верхняя грань, скажем г/о, и уо<^х. В таком случае можно указать вещественное число г, такое, что y0<z<x, и, очевидно, z?S.
Если множество В пусто, то всякое другое число z', такое, что x<z', принадлежит S, и тогда открытый промежуток (z, z') удовлетворяет условиям теоремы. Остается теперь рассмотреть тот случай, когда В не пусто. Это делается с помощью рассуждения, аналогичного предыдущему: х служит нижней гранью В, но не может быть его точней нижней гранью. Поэтому, если у0' — точная нижняя грань В, то х<Уо', и существует такое
число г', что x<z'<y0и, очевидно, z'? S. Тогда интервал (z, z') удовлетворяет требуемым условиям, и теорема полностью доказана.
Легко доказывается также и следующая теорема, обратная предыдущей.
Теорема 2.2
Пусть 5 — некоторое непустое множество чисел. Допустим, что для всякого х0 6 S можно указать такой открытый промежуток I, что х0бД и / полностью содержится в 5. Тогда множество S открыто.
Доказательство
Допустим, что 5 не открыто. Тогда по определению дополнение 5 множества S не замкнуто. Если вспомнить определение замкнутого множества, то последнее означает, что в S существует такое ограниченное подмножество А, что либо его точная верхняя грань, либо его точная нижняя грань (либо обе вместе) не входят в множество S. -Предположим, например, что а0 есть точная верхняя грань А и ao<?S (т. е. ao€S). Согласно определению точной верхней грани, для любого е>0 в А существует элемент, превосходящий а0—е. Следовательно, всякий открытый промежуток, содержащий ао, будет содержать точки, принадлежащие А, и, следовательно, точки из 5. Но это противоречит сделанным предположениям; откуда и вытекает наша теорема.
Эти две теоремы показывают, что в случае вещественной прямой утверждение, что открытое множество — это такое множество, в которое вместе с каждым его элементом входит также и некоторый открытый промежуток, содержащий этот элемент, эквивалентно данному ранее определению открытого множества. Это свойство может быть, таким образом, использовано для определения понятия открытого множества. Мы увидим далее, что смысл такого определения может быть сохранен в некоторых случаях, когда рассматриваемое множество нельзя естественным образом упорядочить и поэтому первоначальное определение неприменимо.
Этот прием, состоящий в переопределении математического понятия, которое было ранее определено способом, неудобным для обобщения, в новых терминах, относящихся к некоторому эквивалентному, но более общему свойству, часто встречается в математике. Мы еще не раз с этим встретимся, в частности в связи с понятиями компактности множества.
2.4. Непрерывность
Этот раздел мы начнем с введения некоторых основных терминов, относящихся к понятию функции, с которыми читатель, быть может, не вполне знаком. Если f — некоторая функция, заданная (определенная) на некотором множестве вещественных чисел, то это множество называется областью задания (областью определения) f. Далее, за исключением тех случаев, когда это будет особо оговорено, мы предполагаем, что области задания всех рассматриваемых функций являются промежутками, замкнутыми или открытыми, ограниченными или неограниченными. Если х есть некоторый элемент области задания, то значение, которое f принимает в точке х, мы обозначим, как обычно, через f{x)\ совокупность всех значений, которые функция / принимает, когда х пробегает всю область задания f, называется множеством значений (областью значений) функции f. Если S — это некоторое подмножество области задания f, то f(S) означает совокупность всех значений, принимаемых /, когда аргумент пробегает 5; f(S) называется образом S, соответствующим функции /. Аналогично, если Т является некоторым подмножеством множества значений /, то через f_1(T) обозначают множество всех чисел х из области задания f, таких, что f(x) 6 Т. Такое множество f-1(T) называется прообразом Т, соответствующим функции f. Наконец, график f — это множество, состоящее из упорядоченных пар (х, f(x)), которое изображается известным образом в виде линии, отнесенной к некоторой прямоугольной системе координат на плоскости.
Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием непрерывного отображения (непрерывной функции); для полноты изложения мы приведем здесь соответствующее определение. Говорят, что функция f непрерывна в некоторой точке х0, взятой из области ее задания, если для любого вещественного числа е>0 существует такое вещественное число 6>0, что, если |х — х01 <6, то \f{x) — f{x0) I <е. С интуитивной точки зрения это означает, что если х лежит близко к х0 в области задания f, то f(x) лежит близко к f(x0) в множестве значений f (здесь 8 и б попросту служат мерами «степени близости»). Функцию f называют непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области задания. Наконец, говорят, что функция f кусочно-непрерывна, если она непрерывна во всех точках своей области задания, за исключением некоторого конечного множества точек.
