Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
—ы---------------------->t
t0+r t0+r + At
Рис. 2.16. Временной интервал между событиями.
мени между наступлением событий обозначить через т, то вероятность наступления события на интервале At, меньшем т, будет равняться просто At/r, независимо от того, как расположен рас-( матрипаемый интервал. Исходя из такого предположения можно imfmi функцию распределения вероятностей (а следовательно, и нлопкк'п. нероятиостей) временного интервала между событиями.
Чтобы получить необходимые выражения, рассмотрим рис. 2.16. Пусть событие (звездочка) произошло в момент t0 и необходимо определить вероятность того, что следующее событие произойдет и произвольный момент времени, расположенный в интервале от /„ | г до t0 + т -f- At. Обозначая функцию распределения вероятностей случайной величины х через F (т), запишем величину искомой вероятности просто как F (г -j- At) — F (т). Но вероятность того, что событие произойдет в интервале At, должна одновременно равняться произведению вероятностей двух независимых событий: «событие не произошло в промежутке от t0 до /„ + г» и «событие произошло в промежутке от t0 + т до t0 -f т -f |- At». Поскольку 1 — F (т) — это вероятность того, что событие не произойдет в интервале между t0 и t0 + т, а At/х — вероятность того, что оно произойдет на промежутке At, можно записать
Деля обе части полученного выражения на At и устремляя At к нулю, получим
lim [F (т + АО — F (т) ]/At — dF (x)/dx = [1 — F (т) ]/т.
Д^->0
Последние два члена образуют дифференциальное уравнение 1-го порядка, решая которое, найдем искомое распределение вероятностей в виде
F (т) = 1 — ехр (—т/т), т >• 0. (2.41)
Постоянная интегрирования находится с учетом начального условия F (0) = 0, поскольку т не может быть меньше нуля.
Рис. 2.17. Экспоненциальная плотность распределения вероятностей.
Дифференцируя (2.41), получим выражение для плотности распределения вероятностей временного интервала между событиями. Таким образом,
Г (1/т) ехр (—т/т), т > О,
'«-{о. ,<<>. (242)
Эта функция называется плотностью экспоненциального распределения вероятностей и на рис. 2.17 приведены ее графики для двух различных значений среднего временного интервала.
Как и следовало ожидать, математическое ожидание случайной величины т будет равно просто т, т. е.,
со
Е [т] = J (т/т) ехр (—т/т) dx = т.
о
Дисперсия при этом оказывается равной or2 (т)2. Можно заметить, что плотность экспоненциального распределения вероятностей является однопараметрической (как и функция Рэлея). Таким образом математическое ожидание и дисперсия соответствующего распределения однозначно связаны и один параметр определяется другим.
Для иллюстрации рассмотрим космический аппарат, отказы элементов которого случаются независимо и равномерно, причем
среднее время наработки на отказ составляет 100 дней. Этот аппарат в полностью исправном состоянии отправляется в 200-дневный полет. Какова вероятность того, что он выполнит свою задачу и ни один из его элементов не откажет? Можно поставить этот вопрос по-другому: какова вероятность того, что первый отказ случится не ранее, чем через 200 дней? Ответ на него прост: [1 — jF (200) ], поскольку F (200)—это вероятность непревы-шения срока в 200 дней. Следовательно, из (2.41) имеем
1 — F (т) = 1 — [1 — ехр (—т/т) ] = ехр (—т/т), и для т = 100, т = 200 получим
1 — F (200) = ехр (—200/100) = 0,1352.
В качестве еще одного примера рассмотрим ситуацию, где лампа бегущей волны (ЛБВ) используется как усилитель в спутниковой системе связи; предположим, что среднее время наработки ЛБВ на отказ равно четырем годам, т. е. средний срок службы такой ЛБВ составляет 4 года, хотя конкретный образец может проработать больше или меньше. Поскольку реальный срок службы 7 является случайной величиной с экспоненциальным распределением, можно определить вероятность любого значения 7. В частности, вероятность работы ЛБВ после четырех лет эксплуатации есть
р (7 > 4) = 1 — F (4) — 1 — [1 — = 0,368.
Вероятность отказа лампы в первый год ее работы будет
Р (7 < 1) = F (1) = 1 — ег1'* = 0,221,
а вероятность выхода ее из строя в течение 5-го или 6-го годов составит
Р (4 < 7 < 6) = F (6) - F (4) = (1 - *г-б/<) _ (1 - е-4/4) 0,1447.
Наконец, вероятность того, что ЛБВ проработает 10 лет, оказывается равной
Р (7 > Ю) = 1 — F (10) = 1 _ (1 — е-10/4) = 0,0821.
Случайной величиной в примерах с экспоненциальным распределением является продолжительность временного интервала между следующими друг за другом событиями. Можно обобщить это понятие, рассматривая в качестве случайной величины интервал между некоторым произвольно взятым событием и k-м следующим за ним событием. Функция распределения вероятностей для такой случайной величины называется распределением Эр-
