Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Для простоты будем считать т = X, и поэтому
т-=Х
F (т) = j [(2я)_1/2 а*] ехр [— (х — Х)2/2ах] dx = 1/2.
— оо
Таким образом,
f , . ^ ( /"(*)/( 1/2) = [2/(2я)1/2ах] ехр [- (х - Х)212а\], *<Х,
/ (дг Л1) — _
(0,
Следовательно, условное математическое ожидание будет
л:
Е[Х\М}^ j [2xl{2n)U2ax\ ехр [— (х - Х)2/2о2х] dx =
— со
0
= j [2 (и + Х)/(2я)1/2 а*] ехР ( u2j2a2x) du = X — (2/п)1/2 Ох •
—Ю
Поясняя полученный результат, можно сказать, что условное математическое ожидание ^случайной нормально распределенной величины равно просто X — (2/я)1/2 ох, если известно, что принимаемые случайной величиной значения не превосходят ее математического ожидания.
Другим примером, иллюстрирующим введенные математические соотношения, нам послужит рассмотренная выше задача, посвященная стрельбе из лука. Допустим на этот раз, что диаметр мишени равен 30,5 см, а стандартные отклонения разброса в направлениях X и Y равны 10,1 см. Следовательно, математическое ожидание разброса относительно центра мишени, найденное с учетом всех попыток, даже тех, когда стрела пролетела мимо, равно R — 10,1. (я/2)1/2 = 12,7 см. Теперь найдем условное математическое ожидание разброса, считая что стрела попадает в мишень. Следовательно, мы определяем М как событие, заключающееся в том, что разброс R не превышает 15,2 см. Таким образом, условная плотность вероятностей будет записываться как
/ (г 1 М) = f(r)/F (15,2).
Поскольку плотность вероятности R есть
f (г) = (г/10,12) ехр (—г2/2.10,12), г > 0,
а вероятность того, что R ^ 15,2 см составляет
F (15,2) = 1 — ехр [—15,272.10,1*] = 0,675,
искомую условную плотность вероятностей получим в виде
/ (г) = [г/0,675 (10,1)2] ехр [—г2/2 (10,1)2], г > 0.
Таким образом, условное математическое ожидание разброса есть
15,2
?[/?|Af]= f (r2/0,675• 10,l2) exp (—r2/2• 10,l2) dr — 9,1 cm,
o
причем этот результат получен численным интегрированием. Обратите внимание на то, что полученное условное математическое ожидание значительно меньше найденного ранее безусловного.
Упражнение 2.8.1. Нормально распределенное случайное напряжение, математическое ожидание которого равно нулю, а стандартное отклонение 10 В, приложено к цепи, состоящей из последовательно соединенных 10-омного резистора и идеального диода. Определите математическое ожидание текущего через эту цепь тока, используя подход, связанный с условной вероятностью.
Ответ: 0,7979 А.
Упражнение 2.8.2. Среднее время безотказной работы лампы бегущей волны составляет 4 года. Считая, что она уже проработала этот срок, найдите условную вероятность ее отказа в течение последующих двух лет службы.
Ответ: 0,3935.
2.9. Примеры и приложения
В предыдущих разделах были введены некоторые понятия, связанные с функцией распределения и плотностью вероятностей непрерывной случайной величины. Прежде чем распространять эти понятия на многомерные распределения случайных величин, полезно рассмотреть ряд примеров, иллюстрирующих приложения к несложным техническим задачам.
Вначале рассмотрим простую схему стабилизатора напряжения, показанную на рис. 2.21, а. Входящий в ее состав стабилитрон имеет идеальную вольт-амперную характеристику, изобра-
к
+
й
-VW-
II
¦М.
^иг = 10 в < Йи~ 10 О.м
и2 = юв
Рис. 2.21. Электрическая схема (а) и вольт-амперная характеристика стабилитрона (б) с гпбилизатора напряжения.
жениую на рис. 2.21, б. Обратите внимание на то, что пока напряжение не сравняется с пробойным (Uz = 10 В), ток через стабилитрон остается равным нулю, а после этого его величина определяется параметрами остальных элементов схемы, тогда как напряжение на стабилитроне остается постоянным. Такая схема часто используется для защиты полупроводниковых приборов от превышения допустимого напряжения. Например, в качестве сопротивления Rl, показанного в схеме, может служить сопротивление нагрузки в виде транзисторного усилителя, работающего при напряжении питания 9 В, но выходящего из строя при превышении уровня 10 В. Номинальное выходное напряжение Us источника питания помимо постоянной составляющей, равной 12 В, содержит случайные пульсации треугольной формы, в связи с чем его можно рассматривать как случайную величину. Будем считать, что эта величина равномерно распределена в диапазоне от 9 до 15 В.
Стабилитроны характеризуются не только пробойным напряжением, но и допустимой мощностью рассеяния. Предположим, что средняя допустимая мощность рассеяния стабилитрона есть Wz — 3 Вт. Каким должно быть сопротивление R последовательного резистора, чтобы средняя мощность рассеяния не превышала указанного значения?
