Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Купер Дж. -> "Вероятностные методы анализа сигналов и систем" -> 38

Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.

Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем — М.:Мир, 1989. — 376 c.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostniemetodi1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 158 >> Следующая

б) ее дисперсию.
Ответы: 1,0, 2,0.
2.8. Условные функция распределения и плотность распределения вероятностей
Понятие условной вероятности было введено в разд. 1.7 в связи с частотой дискретных событий. Она определялась как вероятность одного события при условии, что произошло другое событие, принадлежащее к тому же самому вероятностному пространству. Желательно распространить это представление на абсолютно непрерывные случайные величины. Обсуждение в настоящем разделе будет ограничено введением определений, а также рассмотрением примеров с одной случайной величиной. Случай двух или больше случайных величин будет анализироваться в гл. 3.
Сначала необходимо дать определение условной функции распределения вероятностей случайной величины X при условии,
что произошло событие М. Пусть пока событие М — некоторое произвольное событие. Эта функция распределения обозначается F (х | М) и определяется выражением
F (х | М) = Р [X < х | М) = Р {X < х, M\lР (Af), Р (М) > О,
(2.47)
где {X х, М} — событие, заключающееся в появлении любого из исходов I, таких, что X (?) < х и | ? Af, причем X (g) — значение случайной величины X, принимаемое ею, если исход опыта есть |. Следовательно, {X -< х, М} является непрерывным аналогом пересечения множеств, фигурировавшего в определении (1.17). Можно доказать, что F (х | М) — функция распределения вероятностей, обладающая всеми свойствами, присущими любой функции распределения вероятностей. В частности,
1) 0 F (х | М) 1, —оо < х оо,
2) F (—оо | М) = 0, F (оо | М) = 1,
3) F (х | М) не уменьшается при возрастании х;
4) Р [xj < X < х2 | Af] = F (х21 M) — F(x1 | Af)>0 для хг<:х2.
Теперь необходимо сказать несколько слов о событии М, служащим условием для условной функции распределения вероятностей. Возможны несколько вариантов. В частности:
1) Событие М каким-либо образом может быть связано со случайной величиной X. Соответствующие примеры будут приведены в настоящем разделе.
2) Событие М может зависеть от какой-либо другой дискретной или непрерывной случайной величины. Соответствующие примеры будут приведены в гл. 3.
3) Событие М может одновременно зависеть от случайной величины X и от какой-либо другой случайной величины. Эта ситуация сложнее предыдущих и не будет рассматриваться в настоящей книге.
В качестве примера, поясняющего первый вариант, рассмотрим ситуацию, в которой событие М определяется как М = {X т). Тогда, как следует из (2.47), условная функция распределения вероятностей может быть записана в виде
F (х j М) = Р {X х | X т\ = Р {X х, X т}/Р \Х < т\.
Теперь возможны два варианта в зависимости от того, какая из двух величин — х или т — больше. Если х ^ т, то при наступлении события X т обязательно наступает событие X -< х и Р {X х, X ^ т} -- Р {X ^ т}. Таким образом,
F (х\ М) -Р {X </и}/Р {X < т\ = 1,
Если же х < т, то при наступлении события X < х обязательно наступает событие X < т и
F (х | М) Р {X < x}/P {X < m} = F (x)/F (т).
График функции F(x\M) показан на рис. 2.19.
Условные функции распределения и плотности вероятностей связаны между собой так же, как и обычные, т. е. если производная существует, то
f (х | М) = dF (х | M)/dx. (2.48)
Условная плотность вероятностей обладает всеми свойствами обычной. Следовательно,
1) f (х | М) О, —оо < х < оо,
со
2) [ / (х | М) dx = 1,
3) Z7 (х | М) = | f (и | УИ)
—со
*2
4) j / (х | М) dx = Р [Xi < X х% | Л1].
Возвращаясь к примеру, иллюстрированному рис. 2.19, запишем условную плотность вероятностей
f(x\M)
[1/F (m)\dF (x)/dx = f (x)/F (m) — f(x)/ [ f(x)dx, x<m,
0,
x^-m,
График этой функции показан на рис. 2.20.
Условная плотность вероятностей, как и обычная, может использоваться для определения условных математических ожи-
даний и моментов. В частности, условное математическое ожидание записывается в виде
СО
Е[Х\М] = J xf(x\M)dx. (2.49)
— со
Более общее выражение для нахождения условного математического ожидания произвольной функции g (X) выглядит сле-
дующим образом:
оо
E[g(X)\M]= J g (х) f(x\M) dx. (2.50)
—со
Рис. 2.20. Условная плотность распределения вероятностей, соответствующая
рис. 2.19.
В иллюстративных целях примем, что функция / (х) в рассматриваемом примере имеет нормальное распределение, так что ее можно записать в виде
f (х) = [(2я)~1/2 ах] ехр [— (х — Х)2/2ах].
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed