Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
в) Используя плотность распределения вероятностей, определите вероятность того, что случайная величина примет значение меньше 4.
2.3.2. а) Найдите плотность распределения вероятностей случайной величины X, описанной в задаче 2.2.3, и нарисуйте ее график.
б) Используя плотность распределения вероятностей, найдите вероятность того, что случайная величина X лежит в интервале от 2 до 3.
в) Вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение меньше 2.
2.3.3. Плотность вероятностей случайной величины X имеет вид
Случайная величина Y связана с X соотношением Y = X2.
а) Определите плотность распределения вероятностей случайной величины У.
б) Определите вероятность того, что Y > 2.
2.3.4. Случайная величина Y связана со случайной величиной X, введенной в задаче 2.3.3, соотношением Y = ЗХ — 4.
а) Определите плотность распределения вероятностей случайной величины V.
б) Определите вероятность того, что Y < 0.
в) Вычислите вероятность того, что Y > X.
2.4.1. Для случайной величины X из задачи 2.3.2 определите:
а) математическое ожидание,
б) средний квадрат,
в) дисперсию.
2.4.2. Для случайной величины X из задачи 2.2.4 определите:
а) математическое ожидание,
б) средний квадрат,
в) третий центральный момент,
г) дисперсию.
2.4.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины Y имеет
Определите для этой величины:
а) при каком значении К эту функцию действительно можно считать плотностью распределения вероятностей,
б) математическое ожидание Y,
в) средний квадрат Vа,
г) дисперсию сг^,
д) третий центральный момент,
е) п-й начальный момент Е [Уп].
2.4.4. К источнику питания могут подключаться на некоторые промежутки времени в произвольном сочетании любые из пяти нагрузок, каждая из которых рассеивает мощность 10 Вт. При этом каждая из них подключена к источнику лишь на одну четвертую часть всего времени его работы и действует независимо от остальных.
а) Определите среднюю мощность, потребляемую нагрузками от источника.
б) Определите дисперсию мощности, потребляемой нагрузками от источника.
в) Если источник может обеспечить только 40 Вт, то какова вероятность его перегрузки?
2.5.1. Математическое ожидание и дисперсия случайного напряжения с нормальным распределением равны 10 В и 25 В2 соответственно. Какова вероятность того, что измеренное значение напряжения
а) будет больше 0?
б) будет находиться в интервале от 0 до математического ожидания?
в) будет в два раза больше математического ожидания?
2.5.2. Для случайной величины из задачи 2.5.1 определите:
а) 4-й центральный момент,
б) 4-й начальный момент,
в) 3-й центральный момент,
fx (*) — ехр (—2 |*|),
оо < X < ОО.
ВИД
г) 3-й начальный момент.
2.5.3. Вероятность того, что случайный ток с нормальным распределением примет значение ^ 1 составляет 0,5. Кроме того, вероятность превышения им уровня 5,0 составляет 0,0228.
Определите для этой случайной величины:
а) математическое ожидание,
б) дисперсию,
в) вероятность того, что она примет значение, меньшее или равное 3,0.
2.5.4. Широко распространенный метод обнаружения сигнала в присутствии шума заключается в установлении определенного порогового уровня, с которым производится сравнение результатов измерения напряжения, включающего полезный сигнал и шум. Если установленный порог превышается, то считают, что полезный сигнал присутствует. Естественно, иногда и при отсутствии сигнала шум превосходит этот порог, и такая ситуация называется ложной тревогой. Желательно, чтобы вероятность ложной тревоги была ничтожно мала. В то же время необходимо, чтобы результат любого измерения, проведенного при наличии сигнала, смешанного с шумом, с большой вероятностью превосходил установленный порог. Она называется вероятностью правильного обнаружения и должна как можно меньше отличаться от 1. Пусть шум характеризуется нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
1 В2, а установленный порог равен 5 В.
а) Определите вероятность ложной тревоги.
б) Определите вероятность правильного обнаружения сигнала величиной 8 В в присутствии шума с заданными выше параметрами.
2.6.1. Через резистор с сопротивлением 3 Ом протекает случайный нормально распределенный ток с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 4 А2. Определите:
а) математическое ожидание рассеиваемой мощности,
б) дисперсию рассеиваемой мощности,
в) вероятность того, что мгновенная рассеиваемая мощность будет больше 36 Вт.
2.6.2. Случайная величина X характеризуется нормальным законом распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1,0. Случайная величина Y связана с ней соотношением У = X3.
а) Запишите выражение для плотности распределения вероятностей случайной величины Y.
