Вероятностные методы анализа сигналов и систем - Купер Дж.
ISBN 5-03-000366-5
Скачать (прямая ссылка):
Можно поставить еще один вопрос: сколько ЛБВ нужно, чтобы вероятность того, что после 5 лет эксплуатации хотя бы одна из них будет функционировать, равнялась 0,99? Здесь неизвестно число п, но для ЛБВ с той же средней наработкой на отказ значение р остается прежним и равным 0,393. Поэтому
1 - рп (0) = 0,99, ( -/>)» = 0,01.
В результате получим, что п = 9,22. Однако поскольку это число должно быть целым, то для достижения заданного уровня надежности необходимо установить не менее 10 ламп.
Упражнение 2.9.1. Вольт-амперная характеристика полупроводникового диода часто описывается уравнением Шокли
/ = /0 [ехр (г]U) — 1],
где U — напряжение, приложенное к диоду, /0 — обратный ток, т| — постоянная, зависящая от параметров реального диода, / — ток, протекающий через диод. Пусть /0 = 10~°, а 1] = 25. Определите математическое ожидание тока через диод, считая приложенное к нему напряжение случайной величиной, которая
и) рашюмерпо распределена в интервале от 0 до 1;
ft) нормально распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 0,07;
п) нормально распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 0,1.
Поясните полученные результаты.
Ответы-. 2,880, 3,163, 37,299.
Упражнение 2.9.2. Напряжение холостого хода эквивалентного источника питания составляет 18 В, а его внутреннее сопротивление представляет собой случайную величину, равномерно распределенную в интервале от 4 до 16 Ом. 11а идите:
а) сопротивление нагрузки, которая должна быть подключена к этому источнику с тем, чтобы получить на ней максимально возможное рассеяние мощности;
б) математическое ожидание мощности.
Ответы: 7,5 Ом, 9,2 Вт.
ЗАДАЧИ
2.1.1. Для каждой из описанных ниже ситуаций перечислите все величины, которые обоснованно можно считать случайными; укажите, являются ли они непрерывными или дискретными, а также определите для всех этих величин допустимые интервалы принимаемых ими значений.
а) Прогноз погоды на 4 июля выглядит следующим образом: температура от 19 до 29 °С, скорость ветра 3,5 м/с, отнесительная влажность 75 %, восход Солнца в 5 ч 05 мин, заход в 20 ч 45 мин.
б) Изучение движения на оживленной улице показало следующее: количество проходящих за 1 мин автомобилей равно 26, их средняя скорость 56 км/ч, число легковых автомобилей превосходит в 6,81 раза число грузовых, средняя масса автомобиля 1800 кг, число дорожных происшествий за день 5.
в) В электронную схему входят 5 микросхем, 12 светодиодов, 43 резистора и 12 конденсаторов. Все резисторы имеют номинальное сопротивление
1000 Ом, конденсаторы — номинальную емкость 0,01 мкФ, а номинальное на-пряжение источника питания равно 5 В.
2.1.2. Укажите для каждой из перечисленных ниже случайных величин, дискретна она или непрерывна, а также назовите диапазоны принимаемых ими значений.
а) Исходы опыта с бросанием пары игральных костей.
б) Результаты, полученные при измерении напряжения 12-вольтового аккумулятора.
в) Исходы, связанные со случайным выбором номера телефона из абонентского справочника.
г) Результаты взвешивания взрослых мужчин.
2.2.1. Пусть опыт заключается в бросании 10 монет и определении числа выпавших решеток. Будем считать это число случайной величиной X.
а) Постройте для этой случайной величины график функции распределения.
б) Какова вероятность того, что случайная величина X примет одио из следующих значений: 6, 7, 8, 9?
в) Какова вероятность того, что данная случайная величина будет больше нли равна 8?
2.2.2. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет
вид
Fx (х) =
Найдите вероятность того, что
а) X = 1/4, б) X > 3/4, в) —0,5 < 0,5.
2.2.3. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет
вид
Г А {1 — ехр [— (х — 1)]}, 1 <* < оо,
^(*)={о, -со<*<1.
а) При каком значении А эта функция действительно может считаться функцией распределения вероятностей?
б) Чему равно Fx (2)?
в) Какова вероятность того, что 2 < X < оо?
г) Какова вероятность того, что 1 < X ^ 3?
2.2.4. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет
вид
I 0, —оо<д:^—2,
Fx (х) = | A(l+cos&x), — 2<x<2,
( 1, 2 < х < оо.
а) При каких значениях А и b эту функцию действительно можно считать функцией распределения вероятностей?
б) Какова вероятность того, что X > 1?
в) Какова вероятность того, что X <С 0?
2.3.1. а) Найдите плотность распределения вероятностей случайной величины, описанной в задаче 2.2.1, и нарисуйте ее график.
б) Используя плотность распределения вероятностей, определите вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от 4 до 7.
